Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Проблемы колебаний
Гл. V
ствует положению устойчивого равновесия. Пусть, далее, L [и] — определенное в области Q самосопряженное линейное диферен .иальное выражение
относительно переменных х,____ полученное- вариацией принадлежащей
системе потенциальной энергии, р (к,...) — заданная функция точки, представляющая плотность массы, a Q(x,...; t) — заданная внешняя сила. Ищется такое решение диференциального уравнения:
L [к] = PMtt--Q, (33)
которое на границе Г области О удовлетворяет заданным однородным, не содержащим времени, краевым условиям и соответствует заданному начальному состоянию, определенному равенствами:
«(*,... ;0) = <р(*;,...), ut(x,0) = 4(.*,...).
У всех встречающихся функций предполагается непрерывность производных до наивысшего встречающегося в данной задаче порядка.
Сюда включен и случай равновесия, для которого надо принять, что все встречающиеся функции не зависят от времени и не дано начальных условий. Тогда мы вместо смешанной задачи о колебаниях .с заданными краевыми и начальными условиями получим краевую задачу о равновесии.
Из свободных движений, т. е. из решений однородного диференциального уравнения:
L[u] = puw (33')
удовлетворяющих заданным однородным краевым условиям, выделяют собственные колебания требованием синхронизма-. u = v(x,.. .)g(t). 'Каждое такое собственное колебание соответствует постоянному значению 1, собственному значению, таким образом, что g(t) удовлетворяет уравнению g f- )^=0, и, стало быть,
g (t) = flCOS |/Тt -f- b sin Vit, а V (*,...) — уравнению:
L M +Vw=0, (34)
причем функция V должна удовлетворять поставленным выше для и краевым условиям. Типичная задача — задача о собственных значениях — состоит теперь в том, чтобы определить такие значения параметра \—собственные значения,—для которых однородное диференциальное уравнение (34) имеет при заданных краевых условиях неисчезающие тождественно решения (собственные или фундаментальные функции). Тогда колебание, удовлетворяющее первоначальному, уравнению (33'), изобразится формулой:
и = (acosl/XZ-J-^sinV^H)^*,...).
В случае конечной основной области О положение дела в общем таково: собственные значения \ образуют бесконечную последователь- Общие соображения о методе собственных функций
293
ность I1,!,,— Существует система соответствующих фундаментальных функций V1, V2,..., которая является полной системой в смысле гл. И, § 1 и удовлетворяет соотношениям ортогональности 1J
^ р V1V1P-T - 0 (і ф A), ^ р vfdi =» 1. о о
Больше того, имеет место еще теорема о разложении: всякая функция W с непрерывным L[w\, удовлетворяющая заданным однородным краевым условиям, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд: оо
w — Xi c-jV" = [ p-wv^dT
v = l G
по фундаментальным функциям.
На основании этих фактов [которые, во всяком случае, нуждаются в особом доказательстве (см. § 14)] получаем бесконечную последовательность собственных колебаний (avcos VTj- A4Sin V\t) Vv (х,...), наложением которых, при надлежащем выборе коэфициентов<ач и находим решение уравнения (ЗЗ'і, соответствующее заданным начальным условиям, а именно следует положить:
av =J Ъ, = ^=J рфо^т.
G VG
Для неоднородного уравнения (33) при однородных краевых условиях — согласно §1,2 предположение однородных краевых условий у неоднородного уравнения не означает ограничения общности — решение и (х,... ; t) находят, определяя коэфициенты уч(і) его разложения по функциям Vv. Для этой цели умножа'ют диференциальное уравнение (33) на v.t, интегрируют по области G, преобразовывают левую сторону с помощью формулы Грина (5'), § 1, пользуясь краевыми условиями, применяют затем диференциальное уравнение для функции г»„-и в результате получается уравнение:
Yv+^vYv = Qv (*).
где Qv (t) — заданный коэфициент разложения функции Q (х,...; t) по функциям г>„. Наше диференциальное уравнение для yv имеет частное решение:
t
Yv = Yf si" Y\(t -1) Qv (т) dz ,
Функция, образованная с помощью этих коэфициентов разложения, будет частным решением уравнения (33), а всякое другое решение можно получить прибавлением некоторого решения уравнения (33'), так что решение предложенной задачи с начальными условиями сведено к соответствующей задаче для однородного уравнения (33').
') Символом^ fd- мы обдзначаем интеграл функции /(*,...) по области G-O 294
Проблемы колебаний
Гл. V
Задачу о равновесии, т. е. краевую задачу диференциального уравнения ![«] = —Q (*,...),
при однородных краевых условиях также можно решить с помощью фундаментальных функций. Как и выше, получаем. для постоянных коэфициеитов yv разложения искомого решения и по функциям V4 уравнение XvYv = Qv; стало быть,
Yv = r \ Q0J'-
Таким образом, согласно теореме о разложении, решение дается еле • дующей формулой:
оо г
«=Ef о®*.
V = 1AVJ
Если бы позволено было поменять местами суммирование и интеграцию, то мы получили бы функцию:
V = I v
с помощью которой решение краевой задачи можно было бы записать в следующем виде:
