Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Дг> Iv=<р (х, ,у) (X = to2), (25) 284
Проблемы колебаний
Гл. V
решение которого мы, например, получим, разлагая v(x,y) в ряд
оо
v= V YnVn; коэфициенты этого ряда, если положить Cn= U <р vn dxdy, n = i it определяются аналогично тому, как на стр. 279, формулой:
Y ^X=X ? = (02)'
3. Узловые линии. Подобно тому, как у струны или стержня особый интерес представляют те точки, в которых исчезает какая-нибудь фундаментальная функция vn, „узловые точки" соответствующего собственного колебания vne 'nt , в собственных колебаниях мембраны играют роль узловые линии, т. е. кривые vn (X, у) = 0. Совершая собственные колебания, мембрана вдоль этих узловых линий остается всегда в покое. Мы не можем здесь заняться изложением вопроса об узловых линиях, но мы к нему вернемся при рассмотрении примеров (ср. также гл. VI, § 6).
4. Прямоугольная мембрана. Ввиду того, что собственные значения задачи о колебание мембраны зависят от',формы и размеров последней, наша общая задача включает еще в себя большое количество, частных вопросов, из которых мы некоторые выделим и рассмотрим здесь. Начнем с прямоугольной мембраны, покрывающей область G (0 х а,
О ^y Ь). Для краевых условий и = 0 или — = 0 собственные значе-
дп
нйя и фундаментальные функции находятся без всяких затруднений. В первом случае собственными значениями являются числа
(я2 т2\
^+^г) = 1.2,3,...),
а соответствующими фундаментальными функциями (не нормированными)
ппх . tfmy
являются произведения Sin-Sin-—— . Во втором случае собствен-
а о
ными значениями являются числа
(я2 /я2 \
-^r-b-g-J («, « = 0,1,2,...),
tmx тпу
которым соответствуют собственные функции cos-cos —-— ; в этом
а Ь
случае имеется также собственное значение X = O, как уже было отмечено ранее. (Заметим, что собственные функции закрепленной мембраны можно получить из решений для свободной мембраны диференцирова-нием по X и у.)
Что мы таким путем получили все фундаментальные функции задачи,
вытекает непосредственно из того, например, факта, что функции
. tmx . тиу „ „
sin—-—sin—-—образуют в области G полную ортогональную систему,
так что иной собственной функции, ортогональной ко всем приведенным, быть не может. В самом деле, всякая другая фундаментальная функция, если ее собственное значение не совпадает ни с одним из данных выше значений X, должна быть ортогональна ко всем приведенным произведе- §5
Колебания мембраны
285
нйям синусов; если же ее собственное значение совпадает с одним из указанных выше значений 1, а сама эта функция линейно не зависит от принадлежащих этому собственному значению произведений синусов, то после вычитания надлежащей линейной комбинации этих произведений синусов остается функция, ортогональная к последним, а также, подобно предыдущему, и ко всем остальным произведениям синусов, и, следовательно, тождественно исчезающая.
Теоремы о разложении и т. д. здесь просто сводятся к сведениям, известным из гл. И, о рядах Фурье с двумя переменными.
Черт. 2. Узловые линии квадратной мембраны.
Пример прямоугольника показывает, что у мембраны вполне возможны кратные 'собственные значения. Эхо всегда бывает, если отно-
/TZ2 Л2
шение сторон a: b рационально, ибо в этом случае уравнение — -[- — = /я'2 л'2
= — -J- -р всегда имеет нетривиальные целые решения. Например, у
квадрата а = Ь = п таким'решением является т, = п,п' = т, чему, при краевом условии и = 0, соответствуют фундаментальные функции
sin тх sin пу и sin пх sin ту. Вопрос о показателе кратности какого-либо собственного значения сво- 286
Проблемы колебаний
Гл. V
дится тогда к задаче из теории чисел о числе способов, которым число V2 можно представить как сумму двух квадратов:
V2= /и2 + и21).
Узловыми линиями для собственных функций sin /Z-JCSin ту являются просто прямые, параллельные осям координат. Однако при кратных собственных значениях могут появиться и совершенно иные узловые линии, например, у квадрата — геометрическое место точек, в которых функция
д sin тх sin пу ? sin пх sin ту
равна нулю. На прилагаемых рисунках2) дано несколько характерных примеров такого рода случаев. В надписях под рисунками для сокращения положено итп = sin тх sin пу.
5. Круговая мембрана. Бесселевы функции. Круговая мембрана, радиус которой, изменив в случае надобности масштаб, можно принять равным единице, также допускает решение в явной форме. Диференциальное уравнение задачи, согласно гл. IV, § 8, 2, принимает в полярных координатах следующий вид:
y + b = (26)
Если будем опять рассматривать случай закрепленной мембраны, то краевое условие будет: v (1,0) = 0. Естественно искать решение диференциального уравнения (26) в форме v (г, 0) =/(г) h (0), откуда сейчас же получается следующее соотношение:
(/'C) +
^ ^ —С =?= const.
т h (0)
Так как функция v (г, 0), а стало быть, и h (0) должны быть периодическими функциями от 0 с периодом 2тт — в противном случае v не была бы однозначной функцией точки,— постоянная с должна . иметь значение с= я2, где п — произвольное неотрицательное целое число. Имеем:
