Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
h (0) = a cos п 0 -j- b sin п 0 и для f(r)=y —диференциальное уравнение:
ry _j_ ryl (Г2), _п2)у = 0, (27)
и задача заключается в определении собственных значений 1, для которых существует непрерывное при г= 0 решение этого диференциального уравнения, удовлетворяющее еще краевому условию /(1) = 0.
') По этому поводу ср. Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen uber Zahlentheorie, 4 Aufl., § 68, S. 164—166, Braunschweig 1894.
2) Они взяты частью из книги Покельса (Pockels), упомянутой в списке литературы. §5
Колебания мембраны
287
После преобразования гу\=р (X ф 0) или kr= р, если положить X = А2, уравнение (27) переходит в
Решения этого уравнения — диференциального уравнения Бесселя, — так называемые бесселевы функции, играют в анализе и в математической физике особо важную роль, и позже, в гл. VII, мы ими еще займемся подробнее. Здесь заметим лишь, что подстановкой в уравнение (28)
со
степенного ряда у(р) = E атPm получим решение:
т-0
= W = ЩьГ+Щ +
"-----+.
2 (2га -J- 2) 2-4(2/1 + 2) (2л +4)
которое называют бесселевой функцией п-го порядка. Уже простейшие признаки сходимости обнаруживают, что этот ряд сходится при всяком значении р, т. е. бесселевы функции J„(р) суть целые трансцендентные функции. В частности имеет место следующее разложение:
J ы-1_Р!_|_ Pl__Pl__|L_
Jo Wi 1 22_г2242 224262 "'
Заметим, далее, соотношение:
Л<Р) = *-Л(Р)» (29)
которое легко получается из разложения в ряд.
Решения уравнения (27) получатся теперь в следующем виде:
у«=JnW С*=D, (30)
причем постоянную k следует определить из краевого условия уп (1) = 0, т. е. из условия Jn(k) = 0. Следовательно, собственными значеннями X = ft2 уравнения (27) являются квадраты нулей бесселевых функций. Что касается вопроса о существовании этих нулей, то мы впоследствии покажем, что каждая из я функций Jn действительно имеет бесконечное множество действительных нуле"й, которые мы обозначим через
kn,m(m==l> 2> 3,...)-При таком обозначении собственные функции запишутся в форме:
Jn (К, я Г) (Я COS П 0 + P sin П
При этом а и ?' остаются еще произвольными, откуда вытекает, что, если не считать фундаментальных функций, соответствующих значенню и = 0, все собственные значения по меньшей мере двойные, ибо им принадлежат линейно независимые фундаментальные функций -/„cos п ft, Jn sin п 8. Узловыми линиями этих собственных функций являются Окружности p = const и радиусы & = const. Собственные колебания выражаются следующей формулой:
и — Jn (К,т г) (а cos пo ->[— ? sin лЭ) (a cos kn m t -J- b sin kB>m t). 288
Проблемы колебаний
Гл. V
Если положить в основу более общее краевое условие — —OU,
где о — постоянное число, то в вышеприведенных наших рассуждениях все почти остается без изменения. Лишь краевое условие, из которого определяются собственные значения, гласит несколько иначе, а именно:
kJj(k) = -aJD(k).
Кроме найденных нами функций Jn (kn т г) никаких других собственных функций не существует. Доказательство этого можно, например, вести, исходя из замечания, что всякая фундаментальная функция v является периодической функцией от o периода 2п, имеющей непрерывные производные до второго порядка, Ти, стало быть, допускает разложение в ряд Фурье:
со
V(г, 0)= ? fn (')***. п = — 00
Подставив этот ряд в диференциальное уравнение (26), тотчас обнаружим, что каждый член fn (г)ешЬ в отдельности удовлетворяет диферен-циальному уравнению.
Из общей теоремы о разложении вытекает, что функцию w {г, o), исчезающую на периферии круга, а внутри него непрерывную вместе со своими производными до второго порядка, можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд вида:
со
п, т =0
В качестве частного случая, когда w не зависит от o, в этом предложении содержится теорема о разложимости произвольной функции от V, непрерывной вместе со своими производными до второго порядка и исчезающей при г=\, в интервале Osgr==^l в ряд по бесселевым функциям J0 (k0 т г).
Из общего соотношения ортогональности для фундаментальных функций уравнения мембраны получаем для бесселевых функций и, соответственно, для функций (30), после интеграции по o, следующее соотношение ортогональности: і
\rJn(knjlr)Ja(kn>jr)dr=0 (/фД о
которое можно вывести и непосредственно йз диференциального уравнения (27) способом, которым мы уже не раз пользовались. Кстати, непосредственно можно также обнаружить, что ортогональность сохраняется и при более общем краевом условии kJn' (k)=——aJn{k).
Для нормирования этих функций Jn(knmr) мы воспользуемся соотношением:
і
2 \jl(kr)rdr = f*(k), (31)
о §5 Колебания мембраны
289
которое доказывается следующим образом: помножим диференциальное уравнение для Jn (kr) —у, а именно:
на гу' и проинтегрируем его от 0 до г. После некоторых преобразований с помощью интеграции по частям получим:
2?2 гуЫг= (ry1)2 -f (r2k? — п2)у2,
о
откуда при г= 1, в силу соотношения y(l)=JR(k) = 0, и вытекает равенство (31). Итак, функции
Y 2 J (ь л
