Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Колебания мембраны.
1. Общая задача об однородной мембране. Диференциальное уравненйе колебания однородной мембраны Ди = ип, так же как и рассмотренные до сих пор случаи, приводит к задаче о нахождении собственных значений, только здесь диференциальное уравнение является уравнением с частными производными. Пусть мембрана покрывает область G плоскости X, у с контуром Г; остальные предположения и обозначения остаются те же, что в гл. IV, § 10, 3. Краевое условие возьмем сначала самое простое, а именно и = 0, т. е. будем рассматривать закрепленную мембрану. Положив и (х, у, t) = v(x, у) $ (t), получим тотчас для функций v (х, у), g (г) следующее соотношение:
^ = C=-Xf
V g
из которого вытекает, что X, должна быть постоянной, которую положим 282
Проблемы колебаний
Гл. V
равной V2. Функция v (х, у) получается, как и выше, из следующей задачи: определить параметр X как „собственное значение" таким образом, чтобы существовала функция v (х, у), непрерывная в области G вместе со своими производными, которая удовлетворяла бы диференциальному уравнению:
До -j- Хг» = 0, (22)
исчезала бы на контуре и могла бы быть выбрана нормированной. Собственные значения X должны быть положительными числами, как это уже подчеркнуто обозначением X = V2. В самом деле, применяя формулу Грина (ср. § 1) к уравнению (22), помноженному на v, имеем:
(vx у2) dx d\> = — ^ vLv dxdy = x її 7)2 dx dy,
(j G
откуда и вытекает положительность X. Общее решение диференциального р*
уравнения —= — X = — V2 имеет поэтому вид g= a cos vt-\-b sin vZ и, g
стало быть, является периодической функцией времени. Решение уравнения колебания
и (х, у, t) = v (х, у) (a cos v/ -[- b sin \t)
соответствует тогда собственному колебанию с частотой v = ]/Т
Существование собственных колебаний, точнее, существование бесконечной последовательности собственных значений X1, X2, X3,... и соответствующих собственных функций V1 (Х, у), V2 (х, у), V3 (х, у),..., мы докажем впоследствии — в § 14;, там же будут доказаны и соответствующие теоремы о разложении по ортогональным функциям и о полноте системы этих функций. Однако здесь же мы докажем свойство ортогональности фундаментальных функций, выражающееся в следующей теореме: две собственные функции V1, vk, принадлежащие различным собственным значениям \р X4, взаимно ортогональны, т. е. выполняется тождество:
її vPk dx dy = 0.
G
Доказательство ведется по хорошо знакомому нам уже образцу; с помощью формулы Грина и краевого условия и = 0 получим:
— К) її vPk dxdy = — її (?. Avt — V1 Avk) dK dy=0.
g G
Движение свободно колеблющейся закрепленной мембраны при произвольно заданных начальных условиях и (х, у, 0) =/ (х, у), Ut (х, у, 0) = =g (х. у) можно попрежнему представить с помощью разложения в ряд по фундаментальным функциям, а именно в форме:
оо
и (•*,У, t) =2 Vn (х, у) (ап cos v„i +- bn sin v„<)> (23)
n = 1 §5 Колебания мембраны
283
причем коэфициенты ап, Ьп определяются по начальным условиям следующими формулами:
ап=її / У) vn (х< У) dx d^> bn = ,7 Я S (*, у) vn (х, у) dx dy.
G >„ О
При этом предполагается, что ряд (23) сходится и допускает почтенное диференцирование достаточное число раз.
Совершенно аналогично, как у закрепленной мембраны, обстоит дело у мембраны с упруго связанными краями, что соответствует крае-ди
вому условию вида — = — си, причем о — положительная величина, дп
зависящая от положения на контуре. Задача об определении собственных значений формулируется точно так же, как это было сделано вуше; точно так же производится определение коэфициентов из начальных условий на основании теоремы о разложении. Собственные значения X здесь также положительные числа. Действительно, умножая диференциальное уравнение (22) на о и интегрируя по области G, пользуясь
dz)
формулой Грина из § 1 и краевым условием =0, получаем:
о И
X = X^ V2 dx dy=її (vI + vy)dx аУ +1 OU2 ds.
Числа V = VT суть частоты соответствующих собственных колебаний. Фундаментальные функции, принадлежащие различным собственным значениям Xfc, взаимно ортогональны.
Представляет интерес предельный случай с = 0 — случай свободной мембраны, который может быть физически реализован при помощи надлежащих приспособлений. В то время как при всех остальных краевых условиях все собственные значения положительны, в этом случае существует собственное значение X = Oc принадлежащей ему собственной функцией V (х,у) = COnst.
2. Вынужденные движения. Вынужденные движения мембраны, удовлетворяющие диференциальному уравнению:
Ди =^ull-Q(X, у, t), (24)
можно также трактовать по образцу § 3, 2. Либо разлагают как внешнюю силу Q(x,y,t), так и искомую функцию и в ряд: Q(x, у, t) =
СО OO
== S In О Vn (*> У) И> соответственно, U = X Un (Z) Vn (х, у) по фундамен-
п=4 п=1
тальным функциям va (х,у) свободно колеблющейся мембраны, а затем определяют коэфициенты Un(t) из диференциальных уравнений:
an-bKun=1n'
либо, предполагая, что внешняя сила периодическая, разлагают ее в ряд Фурье; тогда достаточно будет найти решение уравнения (24) лишь дпя случая чисто периодической силы <р (х, у) еш в виде функции V (к, у) еш. Для функции v(x,y) тотчас получается диференциальное уравнение:
