Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
являются нормированными собственными функциями уравнения (27). Более подробные сведения о бесселевых функциях читатель может найти в гл. VII и затем в специальных сочинениях.
6. Неоднородная мембрана. Обобщенное диференциальное уравнение неоднородной мембраны
P^u + Pxtlх + Py11y — Яи = P (У) ию
где р ир имеют повсюду в области G положительные значения, приводит к задаче о собственных значениях, аналогичной общей задаче Штурм-Лиувилля из § 3, а именно к задаче об определении тех значений I, для которых диференциальное уравнение
L [г>] - j- 1рг/=pbv pxvx -(- PytOy — qv -J- Ipw = О
имеет нормированное решение, удовлетворяющее заданным однородным краевым условиям. При помощи формулы Грина
Jj (?1Ы -ViL 1?])dxdy =^p (??--^?-)^^0 о г
[сгр. 265, формула (5')] получается, как и выше, для фундаментальных функций V1, Vj, принадлежащих различным собственным значениям Ij, следующее соотношение:
rt
YWVlVjdx dy.= О. G
Собственные функции мы определим вообще таким образом, чтобы
функции У" р V1 образовали нормированную ортогональную систему, т. е. положим:
^ р V12 dx dy= 1.
о
19
Курант-ГиаьОерт. 290
Проблемы колебаний
Гл. V
Вопрос о существовании собственных значений, теорема о полноте и теорема о разложении, которая утверждает разложимость функции f(x,y), удовлетворяющей краевым условиям и имеющей непрерывные
со
производные до второго порядка, в ряд /= У^ CnVr (х,у), с коэфициен-
п= 1
Тамй сп = ^ р fvn dx dy, — все эти вопросы рассмотрены в § 14 этой •tf
главы.
§ 6. Колебания пластинки.
1. Общие соображения. Вопрос о Диференциальном уравнении Колебания однородной пластинки
ДДи -|-Utt = O
мы будем излагать с возможной краткость^), упоминая лишь то, что возникает принципиально нового по сравнению с изложенным раньше. Здлача о собственных значениях, которая опять получается из предположения u = v (х,у)g(t), гласит так:
ДДр—Iv=O, (32)
причем
^=Vs, g(t) = ae*=hl
Или
g(t) = a cos V t -j- b sin V t.
В качестве краевых условий приходится рассматривать условия, напри-Мер, следующего типа:
Ъи „ йи
и = 0, N— = 0, т. е. v=0, — =0 Ъп in
(закрепленная пластинка). Ортогональность двух фундаментальных функций, принадлежащих различным собственным значениям, доказы- , вается тем же способом, что и раньше, причем следует воспользоваться теоремой Грина (§ 1). Единственное принципиальное отличие состоит в том, что задача о собственных значениях, рассматриваемая здесь, характеризуется двумя однородными краевыми условиями, в связи с тем обстоятельством, что мы здесь имеем дело с диференциальным уравнением с частными производными четвертого порядка.
2. Круговая пластинка. Аналитических трудностей в этой з'а-' Даче, естественно, значительно больше, чем у мембраны. Здесь, например, не удается разрешить случай прямоугольной границы с помощью известных, явно выраженных функций. Единственным видом границы, для которого удается такое явное рассмотрение, является окружность. Здесь мы также придем к бесселевым функциям, если введем полярные координаты г, o. Полагая l=k4, можно привести диференциальное уравнение к понятному без дальнейших пояснений символическому виду:
(ДД — k4)v = 0-
или
(Д —As) (4 +/г*) О, §7
Колебания пластинки
291
причем оператор Д имеет следующее значение:
~~+ г <V r2aft2 '
Если - представить себе, что функция v разложена в ряд Фурье:
+ со
^ = X Уп(Г)е'Пй,
п = — ОО
то каждый член этого ряда сам по себе должен удовлетворять диференциальному уравнению, а потому функция уп должна быть решением следующего уравнения:
\dr2^ г dr г2 )\dr2^ г dr г2^ )У
Можно сразу указать два друг от друга не зависимых решения этого диференциального уравнения, регулярных при г= 0, именно Jn{kr) и Jn(Ikr), где i=y —1 , а следовательно, функция
V (г, 8) = Jn (kr) (a, cos п ft -f- A1-Sin я &) Jn (ikr) (а2 cos п ft -(- A2 sin п 0)
есть решение уравнения (32). Для того чтобы удовлетворить краевым условиям w(l,ft) = 0, Vr(1,ft) = 0, полагаем:
J>n (k) ах + fn (ik) аг = O1 Jn (k) A1 -Ь Jn (ik) A2 = О, Sn (k) Q1 -f Un (ik) а2 = 0, j'n (k) A1 Un (ik) A2 = О,
откуда для собственной частоты k получается трансцендентное уравнение:
j'n(k)_u'„(ik) .
JJk) Jn(Ik)
как показывают разложения в ряд на стр. 287, мнимая единица /' в действительности в это уравнение не входит. За дальнейшими подробностями мы и здесь отошлем читателя к литературе вопроса.
§7. Общие соображения о методе собственных функций.
После рассмотрения приведенных выше примеров полезно будет подчеркнуть-основную сущность метода.
1. Применение метода к задачам о колебаниях и к задачам о равновесии. Рассмотренные нами задачи относились к следующему типу: пусть О — область изменения независимых переменных лг,___, определяющих положение точки, а именно, смотря по числу
независимых переменных, пусть G представляет либо интервал оси х, либо область плоскости х, у или пространства х, у, z с кусочно-гладкой границей. Состояние заполняющей область Q непрерывной среды пусть характеризуется функцией и (х,.. .; і), тождественное исчезание которой соответ-19* 292
