Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
с
причем интеграцию надо производить по переменным ...
Этой функции К, „функции Грина" для диференциального выражения ?[и], мы в § 14 дадим совершенно другое определение и сделаем ее исходной точкой более углубленного рассмотрения, перерастающего формальные рамки.
2. Задачи о собственных значениях в теории теплопроводности. Совершенно подобным же образом и теория теплопроводности приводит к задачам на определение собственных значений. Диференциальное уравнение теплопроводности в однородных изотропных телах, при надлежащем выборе единиц времени и длины, гласит:
L [и] =*= ut,
где и означает температуру, как функцию .точки х, у, z и времени t. Излучение однородного тела О с поверхностью Г в бесконечно простирающуюся среду постоянной нулевой температуры характеризуется на
п a« . -
поверхности 1 краевым условием вида —-}-си = 0, где а — положительная константа, зависящая от материала; т. е. падение температуры по направлению внутрь тела пропорционально температурному скачку изнутри наружу. Вопрос состоит в том, чтобы найти при этом Общие соображения о методе собственных функций
295
краевой условии такое решение уравнения теплопроводности, которое при t~О переходит в заданное начальное состояние <р(х, у, z).
Относительно и делаем предположение u = v(x, у, z)g(t) и тотчас получаем уравнение:
V g
Таким образом для функции v получается следующая задача о соб-
at>
ственных значениях: L ?г/] -f-If = 0 в области G и --^cu = 0 на по"
верхности Г; решение диференциального уравнения, соответствующее собственному значению 1 и собственной функции V, имеет вид:
u = ave~u.
Теорема о разложении по собственным функциям, как и раньше, дает возможность приспособить решение vk заданному начальному состоянию, так что и (х, у, z; 0) оказывается равной произвольно заданной функции <р (х, у, г), непрерывной в области Q вместе со своими производными первого и второго порядка и удовлетворяющей краевому условию. Если, скажем, V1, V2,... и I1, I2,... представляют собою соответственно полную систему нормированных фундаментальных функций и собственных значений, то искомое решение дается фо'рмулой:
оо
и (х,у, Z) t) = X CnVn (x, у, Z) е~и,
It=I
где Cn= ^ ^ <fvndx dy dz.
Заметим вкратце, что в силу положительности собственных значений) решение и (х, у, z; t) с возрастанием t стремится асимптотически к нулю, как и следовало ожидать из физических соображений.
Если вместо однородного уравнения теплопроводности рассматривать неоднородное уравнение
L[u]=ut—Q(x, у, z),
где заданная функция Q не должна зависеть от времени, и если поставить те же однородные краевые условия, что и выше, то по нашему общему методу получится решение и (х, у, z\t), которое при t—>оо переходит в решение соответствующей краевой задачи для уравнения.
L [и]=— Q(x, у, z).
3. Другие вопросы, приводящие к задачам о собственных значениях. Помимо рассмотренных вопросов, многочисленные вопросы анализа приводят к задачам о собственных значениях, т. е. к линейному диференциальному уравнению (или другого типа функциональному уравнению) для функции и, содержащему параметр )., который требуется определить в качестве „собственного значения" таким образом, чтобы однородная краевая задача, кроме тривиального решения и = О, 296
Проблемы колебаний
Гл. V
имела еще нетривиальное решение. Эта постановка вопроса часто возникает в задачах, где один из аргументов играет особую роль. В таком случае пытаются найти решения, которые можно представить в виде-, произведения функции этого самого аргумента на функцию всех остальных, чтобы получить для этой последней функции задачу о собственных значениях. В ближайших Параграфах мы' рассмотрим еще ряд таких задач, возникающих из совершенно различных источников.
§ 8. Колебания трехмерных континуумов.
Вопросы колебаний трехмерных континуумов, например в акустике, теории упругости или электродинамике, требующие решения уравнения
Д и = ии,
где Ди — диференциальное выражение Лапласа в трех переменных, приводят к задаче о собственных значениях вида:
Дм-f Xm = O
с соответствующими однородными краевыми условиями.
Часто встречается .случай, когда специальный вид основной области нозволяет дальнейшее расщепление решений этой задачи и приводит таким образом к задачам о собственных значениях с меньшим числом независимых переменных.
Примером может служить цилиндрическая область, имеющая основанием область О плоскости х, у и ограниченная плоскостями Z = 0, Z = тт. В качестве краевого условия возьмем, например, и= 0. Подстановкой и= f (z)v (х,у) эту задачу можно свести к соответствующей задаче для плоской области G; при этом получается:
f Av ,
--—=—-4-\ = k = const,
/ V
/= sin У k z,
причем k= I2, 22, З2,...; для v получается уравнение Дг>-4- (І — n2)v = 0, собственные значения которого отличаются от собственных значений плоской области G лишь слагаемым — я2, а фундаментальные функции совпадают с фундаментальными функциями плоской области О.
