Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
я
= ' ГДе СVvHdx •
ti 6
Этот метод решения утрачивает смысл в случае резонанса, т. е. когда возбуждающая частота \f\ = ю совпадает с одной из собственных частот |/Хя = соп, а соответствующий коэфициент сп отличен от нуля.
Случай произвольной возбуждающей силы Q (х, t) можно привести к рассмотренному частному случаю, разлагая спектрально силу Q (л:, t) как функцию от t с помощью ряда или интеграла Фурье (ср. гл. И, § 5 и 6).
§ 4. Коле б* а и и я стержня.
Для краткости мы ограничимся случаем однородного стержня, ибо рассмотрение неоднородного не прибавит ничего поучительного к соображениям, изложенным в § 3. У диференциального уравнения поперечных колебаний однородного стержня,
У и , Уа
U* »
дело идет опять об определении собственных колебаний, которые получим, полагая u = v (х) g (f). Подобно предыдущему имеем:
-f =I=-X
V g
- т. е,
Vtv-Iv=Og + lg=0, (21)
причем постоянная X должна быть определена так, чтфбы стёрж нь на своих концах удовлетворял предписанным краевым условиям. Опять при-
») Ср. аналогичное алгебра ическое^рассмотрение в гл. I, § 3, 6. 280
Проблемы колебаний
Гл. V
нимаем длину стержня равной тг, а за положение равновесия — промежуток О ^ х =S Tt и различаем разные типы краевых условий (ср. гл. IV, § 10):
1. v" (л:) = ®"'(х) = 0 при х = 0 иї=л (свободный конец);
2. V (х) = и" (х) = О „ д: = 0 „х=тг (подпертый конец);
3. V (X)=V1 (jt) = O "„ x=O я x=tt (заделанный конец);
4. V1 (X)=Vw(х)=б „ x = 0„x = Tt;
5. V (0) = V (тг), V1 (0) = V1 (тг) ^
и > (периодичность).
у"(0) = Vя (тг), vw(0) = w"'(n)J
Во всех этих случаях можно указать в явном виде собственные функции и собственные значения, так как известен общий интеграл первого из дифереициальных уравнений (21), а именно, если X ф О1), положив j/X = v, имеем:
V = c1Cos vx -f- ^2Sin vx -J- сгё'к
или
V = S1Cos vx S2sin vx -}- S3Ch vx S4Sh vx. Если X = O, общее решение вырождается в многочлен третьей степени:
V=Z1^Z2X+Z3*2+^-
Четыре однородных краевых условия, которым подчинен стержень, дают, теперь для четырех величин S1, S2, S3, S4 четыре однородных урав-
4
нения вида Vj AaSft = 0(і=1, 2, 3, 4), требующих исчезания определи-
K = I
теля |ай|, т. е. некоторое трансцендентное уравнение для собственных значений X. Каждый корень этого уравнения дает одну или несколько фундаментальных функций, которые можно выбрать нормированными. В частности в случае стержня, свободного на обоих концах, получим для V трансцендентное уравнение:
ch vir cos Vtt= 1;
соответствующими (еще не нормированными) собственными функциями, не считая функции S1 -j- S2X, принадлежащей двукратному собственному значению Х=0, являются функции:
V=(sin vir — sh vir) (cos vx -j- ch va:) — (cos vir — ch vtt) (sin vx -f- sh vx).
Решение для стержня, заделанного на обоих концах, можно получить из только что написанного решения для свободного стержня (за исключением собственной функции, принадлежащей значению Х=0) двукратным диференцированием, так как полученная таким путем функция удовлетворяет, во-первых, диференциальному уравнению и, во-вторых, краевым условиям заделанного стержня; к тому же мы таким способом получаем . любую собственную функцию заделанного стержня, ибо из всякой такой функции двукратным интегрированием', при подходящем выборе постоянных интеграции, получается собственная функция свободного стержня«
') Что X ^ О, доказывается таким же путем, как в' § 3, §5
Колебания мембраны
281
Собственными значениями являются корни того же трансцендентного уравнения, что и прежде; фундаментальные функции даются выражением:
V= (sin VTT — sh VTt) ( — cos V* -f- ch vx) — — (cos VTT — ch vir) (— sin vx -j- sh vx).
В задаче о стержне, в противоположность задаче о колебании струны, не исключено появление кратных собственных значений. Например, в задаче о стержне, свободном на обоих концах, собственному значению X = О соответствуют две друг от друга не зависимые нормированные фундамен-
1 /з
тальные фунТсции г»=—= Hv=Xl/ — . При переходе к-заделанному
у тг у Tt3
стержню путем двукратного'диференцир<?вания обе эти фундаментальные функции и соответствующее им собственное значение X = O пропадают.
Во всех случаях собственные функции диференциального уравнения (21) образуют ортогональную систему функций, что можно доказать обычным способом, а именно, если Х„, Xm — два различных собственных значения, ц vn, Vm — соответствующие фундаментальные функции, то после двукратной интеграции по частям имеем:
. . , С , III III t я I я |я
0-т — Ю \ VnVm dX = (VnVm — VmVn -VnVm + VmVn) Jq , *0
а правая сторона этой формулы на основании однородных краевых условий обращается в нуль. Полнота системы собственных функций и теорема о разложимости произвольных функций с непрерывными первой и второй и кусочно-непрерывными третьей и четвертой производными имеет место и здесь, как это обнаружится из дальнейших рассуждений (§ 14).
В остальном теория поперечных колебаний стержн^ развивается совершенно аналогично теории струны, и нет нужды ее здесь подробнее излагать.
