Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
При такой характеристике тензор Ра$ = — ma? + in a? трехмерного пространства имеет [6] одно главное неизотропное направление
(Prt-Kgat)Wfi = 0 (26)
и одно, ортогональное к W, изотропное главное направление W
1 2
(Pafi-Kgafi)Wp = O.
(27)
Кроме того, существует изотропный вектор ортогональный
3
к W& и неортогональный к W^9 который вместе с ЭТИМИ поелед-1 ' ' 2 КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 225
ними образует инвариантную площадку /W1 W\ тензора Ра$,
X 2 з J
что выражается соотношением
(Pa?- Kgat) Wfi = oWa, (28)
2 3 2
где а — произвольный скаляр, не равный нулю; его выбор зависит от нас. Произвол этот является результатом того, что W1 W1
2 3
будучи изотропными, могут быть умножены на любое число без
изменения нормы.
Всякое главное направление или пучок Ра$ будет определять
соответствующие главные направления и пучки тензора 7?a?;
все они будут определяться бивекторами типа (17).
Пусть корню К соответствует простой элементарный делитель і
(К — К) полей /^-матрицы и главное направление, определяемое
і
бивектором Wa. Так как этот бивектор неизотропный, то к нему і
применимы все рассуждения, проведенные для Wa1 рассматривав-
1
шегося в предыдущем случае. Следовательно, можно выбрать такой вещественный репер, относительно которого
Ц/pq _ %pq I^pqt 1 14 23
Этот репер определяется с точностью до вращения в площадке jiij и лоренцова вращения в площадке jllj- Так как бивекторы
Wvq и Wpq должны быть ортогональны к Wvq, то они имеют вид
2 3 1
Wpq = ii(lpq+Hpq) + v(lpq+ il*q),
2 2 \24 31 / 2 134 12 /
W^q = їх (Ipq + +Vtgq + ilpq)-
3 3 V24 31 / 3 \34 12 )
Условие изотропности этих бивекторов приводит к соотношениям |i2+V2 = 0, p,2 + v2 = 0,
2 2 3 3
т. е.
V = ^iljLl, V=e2lli,
2 2 3 3
где ег и е2 равны ± 1. Наконец, записывая тот факт, что они не могут быть ортогональны, получаем, что ег = — Следова-
15-0919 226 А. З. Петров
тельно, можно, например, положить
WPq = %pq + IZjPq + j / ?Pq + Jgpg \
2 24 31 \ 34 12 )
Wvq = Я f Ipq + igPff — і I Ipq + ilpq) \ ,
З 124 31 \34 12 Ji
где X — произвольный скалярный множитель Ф 0.
Теперь остается записать условия, аналогичные условиям (26), (27), (28) для тензора 7?a?, учитывая опять, так же как и для предыдущего случая, что = Sv- Эти условия будут иметь вид
V
(Я«Р-*?Г«Э) Wfi = о,
1 1
(Дар-Zgap) Wp = о,
2 2
(Rafi-Kgasi) Wfi = OgafiWfi.
2 3 2
Тензор ga? определится матрицей (6). Полагая здесь а = 1,2, . . ., 6, легко находим, что матрица (Ra?) (И) будет иметь вид
(Я«р)
— а і 0 0 -P 1 0 0
0 — а + о 2 0 0 -P 2 CT
0 0 - -а —а 2 0 а -P 2
-P і 0 0 а і 0 0
0 -P 2 а 0 а —а 9 0
0 а -р 2 0 0 а + сг 2
0. (29)
Здесь о можно выбрать по своему усмотрению, но Ф 0; а и ?,
S S
как и в первом случае, связаны соотношениями
а + 2а = х, ? + 2? = 0. (ЗО)
12 12
Репер определяется с точностью до вращения в площадке ||
и лоренцова вращения в площадке КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 227
Остается рассмотреть третий тип с характеристикой [3, 31. Для такой характеристики [6] у тензора Rap найдется одно главное изотропное направление W& и, кроме того, еще два вектора
і
W^ и W&, обладающие свойствами
2 з
(/?a?-Zoa?) W* = О, і і
(Bafl-Kbafi) ^ = (70^, (31)
1 2 1
(Я.Р-*6вЭ)И* = т6вРиЛ
1 3 2
где а и % — произвольные числа s^O. Вектор Wa неизотропный,
2
a Wa изотропный. Кроме" того, Wa ортогонален Wa и неортого-
3 1 2
нален Wa, а вектор Wa ортогонален Wa.
3 2 3
Так как Wpq — неизотропный бивектор, то, как и в двух нред-
2
шествовавших случаях, выбирая соответствующим образом репер (с двумя степенями свободы), можно этот бивектор записать в виде
fflPq _ gpq i?pqt
2 24 31
Тогда для бивекторов W и W1 если учесть указанные выше условия
1 3
ортогональности и изотропности, получим выражения
Wpv =-- Ipq + ilpq + HXpq + ilpq\,
1 14 23 \ 3*4 12 J
W" = K i Ipq + iipq-і Ilvq +
З \ 14 23 ' 34 12 Jf
где X — любое число Ф 0. Далее исследование ведется по той же схеме, что и для предшествующего типа характеристики: записываем условия (30) для i?a?, фиксирующие тот факт, что Wa - век-
1
тор главного направления (в бивекторном пространстве), а векторы Wa, Wa, Wa определяют инвариантный пучок тензора i?a?«
12 3 228 А. З. Петров
Эти условия таковы:
1
(Ra9-Kga9)Wb = OgrtW*, (32)
2 1
(RaS-Kgat)Wfi = XgafW*,
3 2
где а ит — числа, отличные от нуля.
Учитывая, что бивектору Wvq в данной точке Г4 соответствует
а
в локальном метрическом бивекторном пространстве вектор Wpq -+Wa, и имея в виду, что для координатного репера
пі а
nt о
легко убедиться, что система уравнений (32) сводится к следующим 9 независимым уравнениям:
ТПц+ ІПц + Itfl13-Til3= — К, rni2 + m12 + im23 — п23 = 0, rni3 + m13 + im33 — n33 = — iK, m12 + m12= —о, TR22 + m22 = — К,
^23 + ^23= —
ЯІЦ + ШЦ-ІЯІІЗ+ Tl13= —К,
mi2 + ini2 — Im23 + n23 = — і, Wi3 + ^i3 — im23 + n33 = iZ,
