Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 152

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 205 >> Следующая


§ 2. КВАНТОВАНИЕ СЛАБОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

Лагранжева функция гравитационного поля имеет в общем случае вид

Z =Tfer^-^a' PJtvP' «Ha?. ?», (7)

где

{a?, ?} = Va|/~g, Ve = -^r,

и для слабого поля

{fxa, ?} = e?[fxa, = + — V?fyxa).

29-0919 450 Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов

Отбросим не интересующие нас сейчас части поля — «псевдогравитоны», участвующие лишь в переносе взаимодействия (т. е. по терминологии Эддингтона [4] «продольно-продольные» и «продольно-поперечные» волны), и оставим только реально излучаемые «поперечно-поперечные» гравитоны.

Тогда, выбирая калибровку так, чтобы h = е^liix = 0, получим для «поперечно-поперечной» части лагранжиана

р 4

Ь = -ШГе*е*е*№, РПиР» aI- '(8)

Для простоты рассмотрим сперва распространение гравитационных волн вдоль оси X1 = X, после чего легко будет проделать переход к общему случаю. При этом отличными от нуля будут две компоненты h2з и h22 — hs3 при условии, что h22 + h33 = 0. Тогда

L =



64ях

|А, V=I, 2

Отсюда для плотности энергии гравитационного поля получим Tn = L-Sa* дЬ где — компоненты тензора энергии, а

= V4(TZ^ig-P)= - eae? 1 .

Следовательно,

JAtV=I, 2

В согласии с теоремой Паули плотность энергии гравитационного поля, обладающего целым спином, оказывается положительной.

Разложим компоненты поля в ряд Фурье:

KV = L-S/2 2 V НЇГ+ (H)

сЧ

1

где L — длина куба периодичности. В энергии поля

H= j dx T744 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ 451

где dx = dx dy dz, выделим часть, связанную с распространением волн по оси х:

H0 = S я (Z1OO), (12)

Iu It=Iz=0 v '

и оставшуюся часть обозначим через

H1= S' н (I1I2I3). (13)

Ii', lt; It

Перейдем от величин q,, v к двум независимым компонентам

?23 (I1OO) = Q1,

(14)

<722 (JiOO) = - <7зз (^iOO) = q2. Тогда плотность энергии

^"о = S ch І I (?1^1 +QrSff2)^ (15)

h

где, как обычно, отброшена нулевая энергия.

Отсюда, применяя обычные методы вторичного квантования, найдем следующие бозевские перестановочные соотношения для коэффициентов Фурье:

?v(Q] = 8nv8p., V= 1, 2. (i?)

Число «поперечно-поперечных» гравитонов в Z1-M состоянии, очевидно, равно

^n = ЯІЯпі ^=1' 2 (17)

(суммирования по [л нет).

Переходя теперь к компонентам поля qns (1) при произвольном

—>

выборе направления для волнового числа 1, имеем

Qns = (0>п2а82 — on3as3) + (an2as3 + anSas2) qx. (18)

Подчеркнем, что в нашем случае «поперечно-поперечных» волн должны оставаться одни пространственные составляющие (#4ц = 0)> причем матрица направляющих косинусов имеет вид

(IJl —Z2/Z12 —Z1Z3/ZZ12 \

I2Il I1II12 -I2I3Ilh2 ]. (19)

I3Il 0 I12II J

Здесь для удобства положено

г12 = у 11+11 I = VPlt + !*.

29* 452 Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов

Отсюда получим перестановочные соотношения для поля гравитонов в общем случае

IgnS; ?iv] = Qnn'Qss' + Qns>Qsn> — QnsQws', (20)

где Qnn-=6nn—lnln>/l*.

Условие Гильберта — Лоренца (см. [4]), которое теперь имеет вид

Qnn'l-n =

будет автоматически выполнено, так как

Qnndn = 0 и т. д. (21)

Перестановочные соотношения для коэффициентов Фурье непосредственно позволяют найти четырехмерные перестановочные соотношения

[hns (г, t); Anv(r', 0] = -??^^*^

(22)

причем Df r=Z)/(v2)2, где D—первая функция Паули: Z) = (2n)-8j ^sbcZTV1-*.

Здесь

оо, T = t — t', R = г — г', Vun' == бпп'V2-V7lVn', (dl)=dlidl2dl3.

Заметим, что если развивать, согласно Паули и Фирцу, теорию частиц спина 2, не выделяя специально «поперечно-поперечной» части, то получаются близкие формулы. Например, для четырехмерных перестановочных соотношений имеем

Ihllv (г, t); Vv (r', ^I= (6iiM/6vv' + 6nv'6vn' — SlXvVv') D-

§ 3. КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТИЦ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

Для описания движения бесспиновых частиц, порождающих гравитоны, воспользуемся релятивистским уравнением Шредин-гера — де Бройля, которое в гравитационном поле имеет вид

(-^vVllVv'+^v a}Va-&2o) i|> = 0.

(23) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ 453

В нашем приближении слабого «поперечно-поперечного» гравитационного поля имеем

^vViiVv = ^Vl4VlI-AneVllVe,

g»v {(IV, a} Va = (VsKsKk) Vfc + 4" (VaKs) Va-Отсюда искомое уравнение примет вид

+ = (24)

к h

где т = — является массой частиц.

с

Для слабого поля линейные и квадратичные члены относительно Ks соответственно равны

Ui=-KsVnWs-, (25)

U2 = — (VsKsKk) Vk--Te" (VaKs) Va.

Таким образом, с помощью уравнения (24) возможно непосредственно описывать процессы второго порядка (порождение двух гравитонов и т. д.).

Ограничиваясь линейными членами относительно hns, мы легко можем написать уравнение Дирака в слабом гравитационном поле х).

В самом деле, уравнение Дирака в гравитационном поле имеет вид

(y»V» - Hc0) = 0. (26)

Здесь

TnTv + yvy\i = 2 g»v = 2 ^guv - 2?^. (27)

Полагая, далее,

где

найдем

^ = Y ГШ ^V- (28)

Наконец, найдем «полурелятивистское» приближение к уравнению (24).

1J В общем случае уравнение Дирака в гравитационном поле было впервые написано Фоком и одним из нас [5]. 454 Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed