Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. КВАНТОВАНИЕ СЛАБОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Лагранжева функция гравитационного поля имеет в общем случае вид
Z =Tfer^-^a' PJtvP' «Ha?. ?», (7)
где
{a?, ?} = Va|/~g, Ve = -^r,
и для слабого поля
{fxa, ?} = e?[fxa, = + — V?fyxa).
29-0919 450 Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов
Отбросим не интересующие нас сейчас части поля — «псевдогравитоны», участвующие лишь в переносе взаимодействия (т. е. по терминологии Эддингтона [4] «продольно-продольные» и «продольно-поперечные» волны), и оставим только реально излучаемые «поперечно-поперечные» гравитоны.
Тогда, выбирая калибровку так, чтобы h = е^liix = 0, получим для «поперечно-поперечной» части лагранжиана
р 4
Ь = -ШГе*е*е*№, РПиР» aI- '(8)
Для простоты рассмотрим сперва распространение гравитационных волн вдоль оси X1 = X, после чего легко будет проделать переход к общему случаю. При этом отличными от нуля будут две компоненты h2з и h22 — hs3 при условии, что h22 + h33 = 0. Тогда
L =
64ях
|А, V=I, 2
Отсюда для плотности энергии гравитационного поля получим Tn = L-Sa* дЬ где — компоненты тензора энергии, а
= V4(TZ^ig-P)= - eae? 1 .
Следовательно,
JAtV=I, 2
В согласии с теоремой Паули плотность энергии гравитационного поля, обладающего целым спином, оказывается положительной.
Разложим компоненты поля в ряд Фурье:
KV = L-S/2 2 V НЇГ+ (H)
сЧ
1
где L — длина куба периодичности. В энергии поля
H= j dx T744 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ 451
где dx = dx dy dz, выделим часть, связанную с распространением волн по оси х:
H0 = S я (Z1OO), (12)
Iu It=Iz=0 v '
и оставшуюся часть обозначим через
H1= S' н (I1I2I3). (13)
Ii', lt; It
Перейдем от величин q,, v к двум независимым компонентам
?23 (I1OO) = Q1,
(14)
<722 (JiOO) = - <7зз (^iOO) = q2. Тогда плотность энергии
^"о = S ch І I (?1^1 +QrSff2)^ (15)
h
где, как обычно, отброшена нулевая энергия.
Отсюда, применяя обычные методы вторичного квантования, найдем следующие бозевские перестановочные соотношения для коэффициентов Фурье:
?v(Q] = 8nv8p., V= 1, 2. (i?)
Число «поперечно-поперечных» гравитонов в Z1-M состоянии, очевидно, равно
^n = ЯІЯпі ^=1' 2 (17)
(суммирования по [л нет).
Переходя теперь к компонентам поля qns (1) при произвольном
—>
выборе направления для волнового числа 1, имеем
Qns = (0>п2а82 — on3as3) + (an2as3 + anSas2) qx. (18)
Подчеркнем, что в нашем случае «поперечно-поперечных» волн должны оставаться одни пространственные составляющие (#4ц = 0)> причем матрица направляющих косинусов имеет вид
(IJl —Z2/Z12 —Z1Z3/ZZ12 \
I2Il I1II12 -I2I3Ilh2 ]. (19)
I3Il 0 I12II J
Здесь для удобства положено
г12 = у 11+11 I = VPlt + !*.
29* 452 Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов
Отсюда получим перестановочные соотношения для поля гравитонов в общем случае
IgnS; ?iv] = Qnn'Qss' + Qns>Qsn> — QnsQws', (20)
где Qnn-=6nn—lnln>/l*.
Условие Гильберта — Лоренца (см. [4]), которое теперь имеет вид
Qnn'l-n =
будет автоматически выполнено, так как
Qnndn = 0 и т. д. (21)
Перестановочные соотношения для коэффициентов Фурье непосредственно позволяют найти четырехмерные перестановочные соотношения
[hns (г, t); Anv(r', 0] = -??^^*^
(22)
причем Df r=Z)/(v2)2, где D—первая функция Паули: Z) = (2n)-8j ^sbcZTV1-*.
Здесь
оо, T = t — t', R = г — г', Vun' == бпп'V2-V7lVn', (dl)=dlidl2dl3.
Заметим, что если развивать, согласно Паули и Фирцу, теорию частиц спина 2, не выделяя специально «поперечно-поперечной» части, то получаются близкие формулы. Например, для четырехмерных перестановочных соотношений имеем
Ihllv (г, t); Vv (r', ^I= (6iiM/6vv' + 6nv'6vn' — SlXvVv') D-
§ 3. КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТИЦ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Для описания движения бесспиновых частиц, порождающих гравитоны, воспользуемся релятивистским уравнением Шредин-гера — де Бройля, которое в гравитационном поле имеет вид
(-^vVllVv'+^v a}Va-&2o) i|> = 0.
(23) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ 453
В нашем приближении слабого «поперечно-поперечного» гравитационного поля имеем
^vViiVv = ^Vl4VlI-AneVllVe,
g»v {(IV, a} Va = (VsKsKk) Vfc + 4" (VaKs) Va-Отсюда искомое уравнение примет вид
+ = (24)
к h
где т = — является массой частиц.
с
Для слабого поля линейные и квадратичные члены относительно Ks соответственно равны
Ui=-KsVnWs-, (25)
U2 = — (VsKsKk) Vk--Te" (VaKs) Va.
Таким образом, с помощью уравнения (24) возможно непосредственно описывать процессы второго порядка (порождение двух гравитонов и т. д.).
Ограничиваясь линейными членами относительно hns, мы легко можем написать уравнение Дирака в слабом гравитационном поле х).
В самом деле, уравнение Дирака в гравитационном поле имеет вид
(y»V» - Hc0) = 0. (26)
Здесь
TnTv + yvy\i = 2 g»v = 2 ^guv - 2?^. (27)
Полагая, далее,
где
найдем
^ = Y ГШ ^V- (28)
Наконец, найдем «полурелятивистское» приближение к уравнению (24).
1J В общем случае уравнение Дирака в гравитационном поле было впервые написано Фоком и одним из нас [5]. 454 Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов
