Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 148

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 205 >> Следующая


которая будет выведена в начале следующей главы)... I * * * • 436 M. П. Бронштейн

II. КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В ПУСТОТЕ

6. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Согласно Гейзенбергу и Паули1), квантовые условия в случае непрерывной среды имеют вид

[Aa?(r),Aa'?'(O] = 0,

LPa?M» Pa'?'(O] = 0» > (54)

[Pa?(r),Aa'?'(r/)] = 7-6aa'6?^6(r-r/), CC<?,

где fecc? —«координаты», Pa? — сопряженные с ними «импульсы». Величины, входящие в скобки Пуассона, относятся к одному и тому же моменту времени, хотя могут относиться и к различным точкам пространства.

Квантовая теория гравитационного поля основана 1) на га-мильтоновой функции (52), 2) на квантовых условиях (54) и 3) на соотношениях [аа, ?] = 0, которые могут трактоваться как некоторое добавочное условие, налагаемое на возможные состояния гравитационного поля, совместимое, как мы увидим ниже, с квантовыми уравнениями движения.

Выкладки, которые мы здесь не будем воспроизводить, показывают, что перестановочные соотношения (54) равносильны соотношениям

[Aa?, k, Aa'?', к'] = 0, [Aj?, к, fea'?', к'] = О,

ft

[Aoo.k, Aoo, k'] = [Aoo,k, V к'] = Ihti1 к, hut к'] = --^J-6 (к —к'),

[Аоо, к, hoi^ к'] = Ihtlj к, Aom, к'] = [hoi, к, hmn, к'] = О,

Ihooi к, him, к'] = [Kn1 к, him, к'] = 0 (I Ф т), (55)

Tl

Ihti1 к, hmm, к'] = -2^-б (к— к') (1фт),

Ihoi1H, hom, k'] = -^-6Zm6(k —к'), [htm, к, Kqi к'] - — -gj- 6lp8mq8 (к — к') {lern, PCq).

G помощью этих соотношений легко не только проверить соотношения (54), но и вывести всевозможные перестановочные соотношения между символами Кристоффеля, компонентами поля и т. п. Заметим, что если мы имеем дело с величинами, кото-

!) Heisenberg W., Pauli W., Zs. f. Phys., 56, 1 (1929). КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 437

рые являются линейными комбинациями различных производных от ha$ по Xvil то скобка Пуассона

[М (г), N (г')],

где обе величины относятся к разным точкам пространства (г иг'), но к одному и тому же моменту времени, может быть вычислена с помощью функции / (к), определяемой из соотношения

= /(к).6(к-к').

Несложное вычисление показывает, что в этом случае можно писать

[М(т), = j [/(к)-Г (-k)]dk.

Так, например, если положить

M = Poo = (feOO+ 2 hU) - S -Si ' N = hoo.

I I

то

Mk = — -у- ^hoot k+ 2 feH. к) ~~ 1 S k^0*' к' =feOOf к,

і і

и на основании (55) получается

= А б(к-к'),

откуда

/(k)-/+(-k)=A

и, следовательно,

[роо (г), A00 (r')] = -5--^ j e**'-'') dk =-7-6 (г-г')

в согласии с (54). Таким же образом, если положить M =[00, к] N = [00, Z],

то

ATk= — icofeofc, к— у ^kfefeoo, к-

Поэтому

[Мк, = - JL (6W -4 kftkj) б (к - к'),

откуда

/(k)-f (-k) = 0, 438 M. П. Бронштейн

и, следовательно, все три скобки Кристоффеля коммути^ руют друг с другом. Мы не станем выводить всех перестановочных соотношений, которые могут быть получены из (55). Можно было бы думать, что здесь, как и в квантовой электродинамике, получается вполне последовательная квантовомеханическая схема, содержащая величины, которые, правда, не всегда могут быть измеряемы с произвольно заданной точностью одновременно, но каждая из которых может быть сколь угодно точно измерена в отдельности. То есть можно было бы думать (следуя терминологии Ландау и Пайерлса)1), что измерения этих величин являются «предсказуемыми» измерениями. Чтобы понять природу тех физических условий, которые могут сделать это утверждение недействительным, рассмотрим в качестве простейшего примера измерение величины [00, 1], т. е. одной из скобок Кристоффеля. Эта величина может быть измерена посредством пробного тела, движущегося со скоростью, бесконечно малой по сравнению со скоростью света, так как уравнения движения такого тела могут быть написаны в виде 2)

= 4"?^. (56)

Если нужно измерить среднее значение величины [00, 1] в объеме V и за промежуток времени T1 то измерение сведется к определению импульса пробного тела (точнее компоненты рх) в начале и в конце промежутка времени Г, причем предполагается,

1J Landau L., Peierls #., Zs. f. Phys., 69, 56 (1931).

2) В самом деле, в уравнении геодезической линии

d*xa f? у\ d4 dxV

ds2 a J ds " ds

при весьма слабом гравитационном поле, что дает | ^ | = —[?y, 1], положим а = 1. Мы находим

^-r?v 11 dX* dxV ds2 J ds ds '

При малых скоростях правая часть сводится к [00, 1] • При малых

№хл 1

скоростях можно также писать ds2 = dt2 (1 + /г00). Поэтому , * = , X

*2 Vi+K0

a ( 1 \ dx _ ^ (Px1 1

Х-г- ) -г- Если скорость близка к нулю, то —± = т-—— х

dt ИЛ 4-/inn / dt ds 1 + hoo

d2x

^2 , откуда и следует формула (56). КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 439

что пробное тело имеет объем V. Измеряемая величина [00, 1] есть по определению

(Px)t+T—(Px)t

[00,1]:

р VT

где р—плотность (масса на единицу объема) пробного тела. Поэтому, если измерение импульса сопряжено с неопределенностью порядка Арх, то и измерение [00, 1] сопряжено с неопределенностью

А [00,1 (57)

Если для измерения импульса необходим промежуток времени At (причем, само собою, должно быть At <С Т) и если обозначить через Ax связанную с измерением импульса неопределенность в координате, то неопределенность импульса Apx будет состоять из двух членов: из обычного члена h/Ax и из члена, связанного с полем тяготения, создаваемым самим измерительным прибором вследствие отдачи при измерении импульса. В самом деле, из уравнения (24) *) видно, что
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed