Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
? V = 16я GT01 = Wpvx,
откуда следует, что неопределенность величины A01, создаваемая неопределенностью отдачи со скоростью порядка AxIAt1 имеет порядок величины
к'р-аг W
есть постоянная тяготения, умноженная на 16я). Из формулы (56) вытекает, что соответствующая неопределенность величины [00, 1] имеет порядок величины к'рАх.
Соответствующий неопределенный импульс, сообщенный измерительному прибору его собственным гравитационным полем, имеет порядок величины к'рАх-pV- At. Поэтому полное выражение для Apx будет
Apx-^. + K9WAxAt. (58)
Можно было бы думать, что обычные соотношения неопределенности теряют силу в гравитационном поле, однако — по ана-
г) Это — уравнение для слабого гравитационного поля
1
? Kt = TAa? ( T00 - 2 Tll) ,
получаемое из уравнений Эйнштейна с использованием гармонических координатных условий.— Прим. ред. 440 M. П. Бронштейн
логии с известными рассуждениями Бора и Розенфель-д а *) в квантовой электродинамике — можно показать, что второй член в формуле (58) может быть сделан сколь угодно малым по сравнению с первым. Тем не менее из формулы (57) видно, что это не есть наиболее ловкий способ производить мысленный эксперимент, так как для наиболее точного измерения [00, 1] необходимо сделать Apx минимальным, а это, как видно из (58), достигается, когда оба члена имеют одинаковый порядок величины, т. е. когда
Ах ~ ( х'р2УД* ) ' Наименьшее значение Apx равно
(ApxUn ~ (hK'p*VAt)4*, и это дает для измеряемой величины неопределенность
(А [00, 1])мин-Jr(^l)172. (59)
Два обстоятельства приводят к тому, что продолжительность измерения импульса (At) не может быть сделана сколь угодно малой. Во-первых, принцип относительности требует, чтобы Ax был меньше, чем At (скорость отдачи, вызванной измерением импульса, не может превосходить фундаментальную скорость, т. е. единицу). Поэтому
т. е.
д , / h \ 1Z з
At > ( —) .
0^ \ XrP2F/
Во-вторых, из самого определения измерения поля следует, что Ax должен быть гораздо меньше линейных размеров пробного тела, т. е.
Up.™ J « ' (6(У)
Таким образом, для At получаются две нижние границы (60) и (60'), причем отношение первой из них ко второй равно
/ P2F2 \2/з \ h ) '
т. е. оно зависит от массы пробного тела, будучи совершенно нич-
!) BohrN., Rosenfeld L., Danske Vid. Selskab. Math.-Fys. Medd., 12, № 8 (1933). (Имеется перевод в книге: Нильс Бор, Избранные научные труды, т. II, изд-во «Наука», M., 1971, стр. 120. — Прим. ред.)
КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 441
тожной величиной в случае электрона и становясь величинои порядка 1 в случае пылинки, весящей сотую долю миллиграмма. Для неопределенности измеряемой величины [00, 1] мы получаем нижнюю границу в том и другом случае различную, а именно
/2/3^/3
(А [00, 1])мин > (61)
И
(Д [00, -J-^7r. (61')
Отсюда следует, что для возможно более точного определения среднего значения измеряемой скобки Кристоффеля в данном объеме пространства-времени выгодно применять в качестве измерительных приборов пробные тела возможно большей массы. Поэтому из двух границ (60) и (60') единственно существенной становится первая, которая в этом случае оказывается большей, чем вторая. Для минимальной ошибки при измерении величины [00, 1] получается, следовательно, граница (61).
До сих пор все рассуждения были в большей степени параллельны соответствующим рассуждениям в квантовой электродинамике х); но на этом месте приходится принять во внимание обстоятельство, из которого обнаруживается принципиальное различие между квантовой электродинамикой и квантовой теорией гравитационного поля. Различие это заключается в том, что в формальной квантовой электродинамике, не учитывающей структуры элементарного заряда, нет никаких принципиальных причин, ограничивающих увеличение плотности р. При достаточно большой плотности заряда пробного тела точность измерения компонент электрического поля может быть сделана какой угодно. В природе, вероятно, существуют принципиальные ограничения плотности электрического заряда (не больше одного элементарного заряда на объем с линейными размерами порядка классического электронного радиуса); однако эти ограничения не учитываются формальной квантовой электродинамикой, вследствие чего она может без противоречий рассматривать измерения электромагнитных величин как «предсказуемые». Не то — в квантовой теории гравитационного поля: она должна считаться с ограничением, вытекающим из того, что гравитационный радиус пробного тела (xpF) не может превосходить его действительных линейных размеров:
K'pV ^ V1f31
откуда
/*2/?'1/* > h2fV2f3 Tp1f3V2f3 0^ TV*'9 '
1J См. Бронштейн М. Я., ДАН СССР, 1, 388 (1934). 442 M. П. Бронштейн
Итак, величина, стоящая в правой части этого неравенства, представляет абсолютный минимум неопределенности при измерении компонент напряжения силы тяжести, который невозможно перейти введением целесообразно выбранного измерительного прибора. Этот абсолютный предел вычислен очень грубо, потому что при достаточно большой массе измерительного прибора начнут, вероятно, играть роль отступления от принципа суперпозиции (мы здесь всюду рассматриваем случай гравитационных волн, т. е. приближенно считаем уравнения закона тяготения линейными; это приближение как раз перестает быть удовлетворительным вблизи поверхности тяжелого тела, гравитационный радиус которого приближается к его действительным размерам). Тем не менее можно думать, что аналогичный результат сохранится и в более точной теории, так как он нисколько сам по себе не вытекает из принципа суперпозиции, а соответствует лишь тому факту, что в общей теории относительности не может существовать тел сколь угодно большой массы при заданном объеме. В электродинамике нет никакой аналогии этому факту (и именно вследствие того, что в ней имеет место принцип суперпозиции); вот почему квантовая электродинамика возможна без внутренних противоречий. В теории же гравитационных волн это внутреннее противоречие никак не может быть обойдено; мы можем считать измерение величин гравитационного поля «предсказуемым» лишь в том случае, если ограничимся рассмотрением достаточно больших объемов и промежутков времени. Устранение связанных с этим логических противоречий требует радикальной перестройки теории и, в частности, отказа от римановой геометрии, оперирующей, как мы здесь видим, принципиально наблюдаемыми величинами — а может быть, и отказа от обычных представлений о пространстве и времени и замены их какими-то гораздо более глубокими и лишенными наглядности понятиями. Wer's nicht glaubt, bezahlt einen Thaler x).
