Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
нив лишь константы связи. Получаем, что неопределенность, обусловленная излучением, должна иметь вид
ATr « MTDA1 (3)
где А = CL2IhTD2lZ, причем Z — наибольшая из величин D и сТ.
Эта поправка полностью скомпенсируется, если тело присоединить к пружине с коэффициентом жесткости C2M2TA. Но такая компенсация возможна, лишь если период собственных колебаний: тела с пружиной намного превышает величину Т. Таким образом,, получаем неравенство
*_ » сТ. (4>
У MTA
Отсюда снова следует условие M Dc2IG, если D < сТг и M < DsC2I (cT)2G,eели D > сТ, чем подтверждается принятое ограничение для массы.
И последнее, отметим, что напряженность поля, создаваемого квантом с частотой от 0 до 2IT на расстоянии D, может составлять L2ID2CT. Поскольку, чтобы определить импульс длительностью T в наблюдаемом излучении, требуется такой квант, этим в измерение Г вводится дополнительная неопределенность того же порядка АГ, что и прежде.
4. Из сказанного следует, что для области пространства-времени с размерами D неопределенность символов Кристоффеля должна быть порядка L2IDs, а неопределенность метрического тензора — порядка L2ID2 (см. примечание на стр. 465). Если D — макроскопическая длина, то квантовые ограничения фантастически малы и ими можно пренебрегать даже в атомных масштабах. Если же величина D сравнима с L, то сохранить прежнее (обычное)-понятие пространства становится все труднее и труднее и становится очевидным влияние микрокривизны.
С этими выводами полностью согласуется и детальный анализ; мысленного опыта Гейзенберга с микроскопом. Наряду с большими скрытыми трудностями, связанными с обобщенным принципом: Карно [7], мы натыкаемся на принципиальное препятствие, если требуем высокой точности.
В установке Бриллюэна положение тела определяется путемг посылки суперпозиции волн по волноводу. Если нам нужно знать положение тела с неопределенностью, не превышающей D1 то частота волн должна быть не меньше hclD. Тогда в области, где по нашим данным должно находиться тело, неопределенность поля метрического тензора будет составлять A T ж L2ID21 что обусловлено наблюдением излучения. Доводить же D до L не имеет смысла, так как расстояние Dt от тела до любой точки характеризуется неопределенностью L2ID. 464 T. Редже
Это означает, что тела вообще нелокализуемы. В нелокальной квантовой теории поля самое важное значение имел вопрос, коммутируют ли полевые операторы на пространственноподобных интервалах, иными словами, имеем ли мы здесь дело с локальной или нелокальной коммутативностью. С нашей точки зрения, до того, как задаваться этим вопросом, следовало бы дать корректное определение пространственноподобного и временноподобного интервалов, когда они сравнимы с L.
5. Можно возразить, что анализ, проведенный в разделе 4 на основании только одного эксперимента, еще не дает решающего ответа. Поэтому мы рассмотрим совершенно иные способы измерения и покажем, что они дают такие же качественные результаты.
Можно, например, взять маятник. Под «маятником» мы понимаем здесь тело без внутренних степеней свободы, висящее на нити «(или ограниченное другой эквивалентной связью). Мы во многом вдеализируем нашу установку, в частности допускаем, что нить лерастяжима. Ее длина равна Q1 масса маятника — M1 а его радиус — R. Мы измеряем период колебаний маятника т, а затем лаходим величину g = C2T1 вычислив
Г = ^приД«<?. (5)
Если наблюдать колебания маятника в течение времени Tf то ошибка в величине Их должна составлять ИТ. Этому соответствует ошибка
АГ«4*2<? ж» -Sr- <в>
Если мы к тому же должны найти СГП в области с размерами D1 то размах колебаний маятника не должен превышать D. Но ъ основной моде амплитуда его колебаний равна YhQIgMт. Поэтому мы должны потребовать, чтобы выполнялось неравенство
D2>WT- (7>
Комбинируя (5) и (7), получаем
1 ^ D2gM An2D2M ^ An2D2M /qn
Тогда условие (6) (если вспомнить, что M <С Rc2IG) эквивалентно неравенству
W
При помощи маятника величина Г измеряется ничуть не точнее, чем при первом методе. Другой способ измерения СГП — при ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 465
помощи динамометра. Идеальная установка такого типа представляет собой тело с массой M1 подвешенное на идеально упругой пружине с коэффициентом жесткости к. Под тяжестью тела пружина растягивается на величину g. Тогда ускорение силы тяжести дается выражением
(1°)
Однако висящее тело обычно не покоится, и нам нужно измерить его положение дважды — в моменты t и t + T (где T — полуцелое число периодов) и вычислить ? по среднему значению результатов этих измерений. Поэтому СГП энергия такого осциллятора содержит неопределенность, равную hl Т.
Если мы должны определять СГП для области, меньшей D1 то амплитуда колебаний не должна превышать этой величины. Отсюда
ИЛИ (И)
Из-за неопределенности в величине превышающей MGIc2, возникает ошибка в величине g
д KM hAg JiG LV
ё M^ MTD2 CiTD2 cTD2 ' К '
Еще один метод: в область, в которой требуется измерить СГП, поместим атом радиусом D, «высвечивающийся» с испусканием фотона с частотой v. Если гравитационный потенциал у не слишком велик, то его можно определить по наблюдаемому красному смещению, пользуясь формулой
