Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Если энергия частиц может иметь два знака, т. е. соответствующее уравнение может описывать рождение частиц, но скорость
частиц V много меньше с, тогда мы можем положить
= + ^ (20)
причем fco может принимать как положительные (Е > 0), так и отрицательные (E < 0) значения.
Подставляя последнее соотношение в уравнение (22) и отбрасывая в энергии взаимодействия малые члены, пропорциональные УпФі найдем следующее «полурелятивистское» уравнение х):
Здесь потенциальная энергия в поле гравитонов V связана в «полурелятивистском» приближении с U следующим образом:
а функция Гамильтона H0 равна сумме кинетической энергии — ^V2, собственной энергии гтс2 и потенциальной энергии V0 (без учета гравитационного поля):
H0 = - hfisfi + гтс2 + F0 (е = ± 1). (32)
Уравнение (30) имеет место также в нерелятивистском приближении, однако в этом случае в значении для H0 будет отсутствовать собственная энергия тса.
Учет спиновых эффектов, которыми здесь мы ради простоты будем пренебрегать, не может изменить порядка результатов.
Поэтому при вычислении энергии излучения гравитационных волн (см. § 4) мы можем ограничиться нерелятивистским приближением. При исследовании же аннигиляции пары частиц в два гравитона (см. § 5) мы будем пользоваться релятивистским уравнением (24), хотя если компоненты пары движутся с малой относительной скоростью и с, то этот процесс может быть с успехом описан также при помощи более простого «полурелятивистского» уравнения (30).
§ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТОНОВ
Для описания излучения единичных гравитонов ограничимся в энергии взаимодействия (31) линейным первым членом
V= An5VnVs-
1J Полурелятивистское уравнение было недавно использовано нами [6] для подсчета аннигиляции медленных позитронов и электронов в различных случаях. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ 455
являющимся по существу энергией связи скалярной частицы с гравитационным полем, имеющим квадрупольный характер (напомним, что спин гравитона равен двум). Беря за начальную волновую функцию
= (33)
и полагая
* = г>' (33а)
k
найдем для дираковского коэффициента возмущения С
t
Ck= ~ \dt j йтфїЕУфо. (34)
о
Учитывая отсутствие гравитонов в начальный момент времени (q+q = 0), возможно в разложении для hns отбросить амплитуды q; тогда имеем
1
Следовательно,
-IT^S / J (35)
о
где матричный элемент
Pns= J dx^t (V) e-il'rpnps% (г), (36)
а импульс
h ^f
Учитывая известные из теории б-функций формулы
t
2 = 2я 8 (Г); 6
\ dte-™
о
и заменяя
U S • • — ел* 1 ^'' ' '
і
получаем значение энергии гравитационного поля, излучаемой за секунду движущимися частицами:
W = Chl 4ї S С*С = Ш^р- § dQ (2QnwQss' - QnsQn's') PnsP+Ws', (37) где dQ — элемент телесного угла и частота со = cL 456 Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов
Отсюда, интегрируя, имеем окончательно (см. также [2])
(38)
Это выражение получено для больших длин волн, когда со а/с <С
1, где а — размеры системы. В классическом пределе оно совпадает с результатом Эйнштейна.
Заметим, что порядок величины выражения излученной энергии гравитационного поля можно получить весьма просто, исходя из известного значения эйнштейновского коэффициента для вероятности излучения фотонов, т. е. электромагнитной энергии. Для перехода к излучению гравитонов достаточно лишь, во-первых, заменить электрический заряд е на «гравитационный заряд» т\/ тс (где т — масса излучающих частиц) и, во-вторых, учитывая квадрупольный характер гравитационного поля, описываемого тензором 2-го ранга, вместо векторного характера поля электромагнитного, описываемого вектором-потенциалом, необходимо от дипольного коэффициента Эйнштейна А перейти к квадруполь-ному, т. е. добавить множитель (сох/с)2.
Окончательно получим вместо коэффициента Эйнштейна для электромагнитного излучения
коэффициент вероятности излучения гравитационного поля
д К™2
hcb
Отсюда для излучаемой гравитационной энергии получаем
W ~ htoAg ~ (0?4,
что с точностью до коэффициента порядка 1 совпадает с полученным выше точным выражением при учете значения квадрупольного момента.
Правила отбора для разрешенного гравитационного излучения, очевидно, будут совпадать с правилами для квадрупольного излучения, т. е. соответственное квантовое число должно меняться на 2, в согласии со значением спина гравитона 2.
Заметим далее, что обычные аргументы, позволяющие вывести силу лучистого трения или торможения из величины излученной энергии, приводят в настоящем случае к выражению силы гравитационного торможения, зависящей от 5-й производной квадрупольного момента (в противоположность 3-й производной в случае дипольного излучения). КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ 457
е2 е2 •" *
Действительно, вместо Re ~ — (0? ~ я теперь будем имет
Rg-^1 (0?3 - (я3)^>.
Как неоднократно подчеркивалось, излучение гравитационной: энергии ничтожно, ибо у элементарных частиц малы массы, астрономические же объекты, например пульсирующие звезды, обладают незначительными частотами колебаний. Здесь следует, однако, иметь в виду, что гравитационное излучение вычислялось до-сих пор как раз в заранее выдвинутом предположении нерелятивистских медленных движений излучающих частиц и слабого поля.
