Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
I. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
1. УРАВНЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Предметом теории гравитационных волн является случай гравитационного поля настолько слабого, что нарушение квазиевкли-довского характера четырехмерного пространственно-временного континуума можно считать чрезвычайно малым. В этом случае возможно ввести систему отсчета, свойства которой весьма мало отличаются от свойств обыкновенных лоренцевых систем отсчета. Обозначая время через t = х0, а прямоугольные пространственные координаты через X1, Х2, X3, мы можем положить компоненты метрического фундаментального тензора равными
где числа Ajxv имеют обычные значения, соответствующие квази-евклидовскому континууму Минковского:
* ЖЭТФ, 6,195 (1936). (Здесь с незначительными исправлениями воспроизводится часть статьи.)
&iv = Ajxv + fe,
(1)
28-0919 434 М. П. Бронштейн
(фундаментальная скорость принята за единицу), а все числа Alxv малы по сравнению с единицей (причем Aixv = Avjx).
В этом случае уравнения теории тяготения приобретают приближенно линейный характер и легко могут быть проинтегрированы в общем виде.
Основанная на этом замечании теория гравитационных волн была построена автором общей теории относительности х).
Существенной чертой теории гравитационных волн является то обстоятельство, что в области применимости этой теории гравитационное поле может рассматриваться как поле, существующее в квазиевклидовском пространстве-времени (подобно электромагнитному полю в специальной теории относительности), а не как нарушение квазиевклидовского характера этого пространства-времени.
Предложенный Эйнштейном метод описания слабого гравитационного поля малыми величинами Aixv имеет при всей своей простоте тот существенный недостаток, отмеченный Э д -д и н г т о н о м 2), что при пользовании этим методом весьма трудно отделить «реальные» гравитационные волны, соответствующие нарушению квазиевклидовского характера пространства-времени, от «фиктивных» гравитационных волн, возникающих при введении произвольно осциллирующих координатных систем. Эддингтон высказал тот взгляд, что «реальный» характер имеют лишь поперечные гравитационные волны Эйнштейна (ТТ-волны по терминологии Эддингтона), распространяющиеся всегда с фундаментальной скоростью, в то время как волны, имеющие продольный характер (LL-волны), равно как и обладающие более сложным характером симметрии продольно-поперечные волны (Lr-волны), распространяющиеся с произвольной скоростью, всегда «фиктивны», т. е. могут быть устранены целесообразным изменением координатной системы.
Любопытно отметить, что этим же замечанием впоследствии воспользовался Ландау3), который указал на то обстоятельство, не замечаемое большинством физиков, что поперечный характер «реальных» гравитационных волн, по-видимому, исключает возможность нарушения закона сохранения энергии в материальных системах, хотя бы и не подчиняющихся общей теории относительности (например, в системах, подчиняющихся «релятивистской
!) Einstein A., Sitzungsber. d. Berl. Akad., 1916, S. 688; 1918, S. 154. (Имеется перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. I, «Haj/Ka», M., 1965, стр. 514; стр. 631.— Прим, ред.)
2) Эддингтон А. С., Теория относительности, JI.-M., 1934, стр. 236.
3) Эти соображения Ландау были высказаны им при обсуждении космологической теории автора настоящей работы [см. М. Bronstein1 Sow. Phys., 3, 73 (1933), где они изложены в «добавлении при корректуре»; см. Также G. A. Gamow1 Phys. Zs., 35, 533 (1934)]. Обозначения (5), принятые в этой работе (см. дальше), также предложил Л.Д.Ландау. КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 435
теории квант»). В самом деле, изменение энергии (и, следовательно, массы) такой системы должно привести к распространению гравитационных волн в окружающем пустом пространстве, подчиняющемся обыкновенной («не квантовой») общей теории относительности; эти волны на основании соображений симметрии должны иметь продольный характер, а это исключается уравнениями закона тяготения в пустом пространстве. Этот качественный аргумент Ландау, впрочем, до сих пор не получил более подробного количественного обоснования.
В настоящей главе, которая должна служить введением к квантовой теории гравитационных волн, развиваемой в следующих главах, уместно привести вывод основных формул теории гравитационных волн. При этом мы, однако, будем пользоваться не методом Эйнштейна, а другим методом, в котором гравитационное поле характеризуется не коэффициентами Ajxv, как в методе Эйнштейна, а компонентами четырехзначкового тензора Римана — Кристоффеля, что, очевидно, сразу же исключает «фиктивные» гравитационные волны. На возможность такого метода указал уже Эддингтон (в цитированной книге). Разумеется, предлагаемый метод, в котором переход от одних потенциалов Ajxv к другим трактуется как перемена калибровки, а не как изменение системы отсчета, вполне эквивалентен методу Эйнштейна,и различие между ними в сущности тривиально. Для наших целей, однако, новый метод представляет некоторые преимущества, так как теория гравитационных волн при этом приобретает свойства, весьма напоминающие обычную классическую электродинамику, и это позволит нам в дальнейшем ввести квантовые условия в тесной аналогии с квантовой электродинамикой. Выбор «потенциалов» Aixv, соответствующих заданному гравитационному полю, характеризуемому четырехзначковым тензором Римана — Кристоффеля, может трактоваться не как выбор системы отсчета, а как калибровочное преобразование — вроде того, с которым приходится иметь дело в электродинамике. Различные системы отсчета, соответствующие различным Ajxv (при условии, конечно, что IAixv I 1), но одним и тем же компонентам Blivcfp, будут рассматриваться поэтому как одна и та же система отсчета. Это приводит к существенному для нас расширению класса «квазиинвариантов» (т. е. инвариантов по отношению к преобразованиям, с которыми имеет дело теория гравитационных волн): в частности, мы будем считать «квазиинвариантами» и такие величины, которые не инвариантны по отношению к калибро-I- вочному преобразованию и которые поэтому не являются даже [ приближенно инвариантами общей теории относительности (при-I мером такого квазиинварианта является лагранжева функция,
