Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
где dty/dsi = Щд^Ідх0 — частная производная по направлению Z-й тетрады. Ковариантная производная полувектора по координате ха записывается как
d^ = ~Sf-r^' ^19*)
где введено обозначение
ra=2*ftAft.cA. (20)
h
Переходя на время к псевдоевклидову пространству и полагая коэффициенты yiki равными нулю, находим, что формула (19) принимает вид
-Sr
Но это как раз то выражение, которое входит в уравнение Дирака, если под OJ понимать
=Ir ?. <21>
где (pj — тетрадные компоненты вектор-потенциала. В дальнейшем мы будем придерживаться такого физического истолкования геометрических величин Ф^. Тем самым мы придали геометрический смысл включению вектор-потенциала в уравнение Дирака, и смысл этот состоит в том, что потенциал может быть отличным от нуля, даже если равны нулю гравитационные члены, содержащие уш.
Обращаясь к формуле (13), определяющей 8і|), мы находим, что в ней в согласии с предположением, высказанным Вейлем [9], ,фигурирует линейная дифференциальная форма Вейля
2 erfi (Isl = ^odx0. і
Появление дифференциальной формы Вейля в законе параллель-лого переноса полувектора стоит в тесной связи с тем обстоятель- ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 421*
ством, отмеченным автором [10] и Вейлем [9], что добавление к 4-потенциалу градиента соответствует умножению гр-функции на величину, модуль которой равен 1. Это положение Вейль назвал «принципом калибровочной инвариантности».
5. Понятие ковариантной производной полувектора дает возможность вывести волновое уравнение Дирака для электрона в общей теории относительности. Действительно, рассмотрим оператор
2 (-S--Grt) -mca^ <22>
к
Покажем, что он самосопряженный х). Для этого перейдем, от тетрадных компонент к координатным и введем матрицы
Г = ЦекаЛ (23)
к
вместе с матрицами Гд, определенными формулой (20). Для введенных таким образом матриц, согласно уравнениям (15), выполняются аналогичные соотношения:
Пу° + у°та= -VaTty. (24)
Эту формулу легко доказать, вернувшись к определению (12) Для уш.
В координатном выражении оператор F имеет вид
^--ST Te (-?--^)-""?*- <25)
Учитывая (24), легко доказать тождество
ф = YgyO^), (26)
где g — абсолютная величина определителя [| gpG ||. Данным тождеством выражается то обстоятельство, что F — самосопряженный оператор. Поэтому для уравнения Дирака в общей теории относительности можно постулировать форму
Fty = 0. (27)
Если удовлетворяет этому уравнению, то из тождества (26) следует, что дивергенция вектора плотности тока
Sp = ^7Pi|>, (28)
1J Мы понимаем здесь слово «самосопряженный» в несколько расширенном смысле, а именно мы имеем в виду, что выражение if>Fif> — может быть записано в форме дивергенции (вообще говоря, четырехмерной). '422 В. А. Фок
который, очевидно, является действительным ввиду эрмитовости матриц равна нулю:
1 д
«{VgS*) = 0. (29)
Vg дх[
Легко показать, что постулат (25), (27), задающий уравнение Дирака, инвариантен (точнее, ковариантен) не только относительно выбора координат, но и относительно выбора ортогональных конгруэнций кривых.
Чтобы это доказать, заметим сначала, что в соответствии с прежним определением (18), (20), (21) матрицы Га однозначно определяются и уравнениями
W +YtTa=-VaY0,
1 а ТУ 2 nie ^ '
T Spr« = HST-cP0-
Если ввести теперь новую сетку конгруэнций кривых и обозначить привязанные К ЭТОЙ сетке величины звездочкой, ТО новые Та будут решениями аналогичных уравнений
тЗД=^«-
Однако переход к новым ориентациям тетрады в каждой точке пространства-времени имеет характер локального преобразования Лоренца. Поэтому связь между новыми компонентами полувектора г|)* и новыми матрицами у*а, с одной стороны, и старыми г|) и уа, с другой — имеет вид соотношений
г|)*=?5г|), y* = S*y**S (31)
[ср. формулы (5) и (6)], где S — матрица вида га ? 0 O^
S=<
у б 0 0
OOa?f' = l
0 0 у б.
с переменными элементами.
При этом закон преобразования коэффициентов Га параллельного переноса имеет вид
TZ = ST0S-I (32)
дхи ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 423*
и это выражение является единственным решением уравнения (30*) х).
Кроме того, выполняется соотношение
'33)
Если через обозначить выражение, аналогичное (25), кото-
рое получается, если пометить В нем звездочкой величины Ya, Га и г|), то из (31) и (33) следует
Fty = S+F*ty*. (34)
Таким образом, уравнения = 0 и jF7*^* = 0 эквивалентны, что и требовалось доказать.
6. В этом пункте мы представим оператор F в ином виде, чем ранее, преобразовав сумму ^ekakCkJ фигурирующую в формуле (22).
Чтобы можно было представить результат в обозримом виде, мы поступим следующим образом. Введем величины еijki, обращающиеся в нуль, если среди индексов ijkl, хотя бы два одинаковы, и равные +1 или —1 в отсутствие одинаковых индексов в зависимости от того, получается последовательность ijkl из 0 12 3 путем четной или нечетной перестановки. С помощью таких величин мы строим «тетрадный вектор»
Л = у 2 еіе^еігітУт (35)
