Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 143

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 205 >> Следующая


где dty/dsi = Щд^Ідх0 — частная производная по направлению Z-й тетрады. Ковариантная производная полувектора по координате ха записывается как

d^ = ~Sf-r^' ^19*)

где введено обозначение

ra=2*ftAft.cA. (20)

h

Переходя на время к псевдоевклидову пространству и полагая коэффициенты yiki равными нулю, находим, что формула (19) принимает вид

-Sr

Но это как раз то выражение, которое входит в уравнение Дирака, если под OJ понимать

=Ir ?. <21>

где (pj — тетрадные компоненты вектор-потенциала. В дальнейшем мы будем придерживаться такого физического истолкования геометрических величин Ф^. Тем самым мы придали геометрический смысл включению вектор-потенциала в уравнение Дирака, и смысл этот состоит в том, что потенциал может быть отличным от нуля, даже если равны нулю гравитационные члены, содержащие уш.

Обращаясь к формуле (13), определяющей 8і|), мы находим, что в ней в согласии с предположением, высказанным Вейлем [9], ,фигурирует линейная дифференциальная форма Вейля

2 erfi (Isl = ^odx0. і

Появление дифференциальной формы Вейля в законе параллель-лого переноса полувектора стоит в тесной связи с тем обстоятель- ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 421*

ством, отмеченным автором [10] и Вейлем [9], что добавление к 4-потенциалу градиента соответствует умножению гр-функции на величину, модуль которой равен 1. Это положение Вейль назвал «принципом калибровочной инвариантности».

5. Понятие ковариантной производной полувектора дает возможность вывести волновое уравнение Дирака для электрона в общей теории относительности. Действительно, рассмотрим оператор

2 (-S--Grt) -mca^ <22>

к

Покажем, что он самосопряженный х). Для этого перейдем, от тетрадных компонент к координатным и введем матрицы

Г = ЦекаЛ (23)

к

вместе с матрицами Гд, определенными формулой (20). Для введенных таким образом матриц, согласно уравнениям (15), выполняются аналогичные соотношения:

Пу° + у°та= -VaTty. (24)

Эту формулу легко доказать, вернувшись к определению (12) Для уш.

В координатном выражении оператор F имеет вид

^--ST Te (-?--^)-""?*- <25)

Учитывая (24), легко доказать тождество

ф = YgyO^), (26)

где g — абсолютная величина определителя [| gpG ||. Данным тождеством выражается то обстоятельство, что F — самосопряженный оператор. Поэтому для уравнения Дирака в общей теории относительности можно постулировать форму

Fty = 0. (27)

Если удовлетворяет этому уравнению, то из тождества (26) следует, что дивергенция вектора плотности тока

Sp = ^7Pi|>, (28)

1J Мы понимаем здесь слово «самосопряженный» в несколько расширенном смысле, а именно мы имеем в виду, что выражение if>Fif> — может быть записано в форме дивергенции (вообще говоря, четырехмерной). '422 В. А. Фок

который, очевидно, является действительным ввиду эрмитовости матриц равна нулю:

1 д

«{VgS*) = 0. (29)

Vg дх[

Легко показать, что постулат (25), (27), задающий уравнение Дирака, инвариантен (точнее, ковариантен) не только относительно выбора координат, но и относительно выбора ортогональных конгруэнций кривых.

Чтобы это доказать, заметим сначала, что в соответствии с прежним определением (18), (20), (21) матрицы Га однозначно определяются и уравнениями

W +YtTa=-VaY0,

1 а ТУ 2 nie ^ '

T Spr« = HST-cP0-

Если ввести теперь новую сетку конгруэнций кривых и обозначить привязанные К ЭТОЙ сетке величины звездочкой, ТО новые Та будут решениями аналогичных уравнений

тЗД=^«-

Однако переход к новым ориентациям тетрады в каждой точке пространства-времени имеет характер локального преобразования Лоренца. Поэтому связь между новыми компонентами полувектора г|)* и новыми матрицами у*а, с одной стороны, и старыми г|) и уа, с другой — имеет вид соотношений

г|)*=?5г|), y* = S*y**S (31)

[ср. формулы (5) и (6)], где S — матрица вида га ? 0 O^

S=<

у б 0 0

OOa?f' = l

0 0 у б.

с переменными элементами.

При этом закон преобразования коэффициентов Га параллельного переноса имеет вид

TZ = ST0S-I (32)

дхи ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 423*

и это выражение является единственным решением уравнения (30*) х).

Кроме того, выполняется соотношение

'33)

Если через обозначить выражение, аналогичное (25), кото-

рое получается, если пометить В нем звездочкой величины Ya, Га и г|), то из (31) и (33) следует

Fty = S+F*ty*. (34)

Таким образом, уравнения = 0 и jF7*^* = 0 эквивалентны, что и требовалось доказать.

6. В этом пункте мы представим оператор F в ином виде, чем ранее, преобразовав сумму ^ekakCkJ фигурирующую в формуле (22).

Чтобы можно было представить результат в обозримом виде, мы поступим следующим образом. Введем величины еijki, обращающиеся в нуль, если среди индексов ijkl, хотя бы два одинаковы, и равные +1 или —1 в отсутствие одинаковых индексов в зависимости от того, получается последовательность ijkl из 0 12 3 путем четной или нечетной перестановки. С помощью таких величин мы строим «тетрадный вектор»

Л = у 2 еіе^еігітУт (35)
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed