Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
3
S+CCiS = 2
A=0 (6) S+OtliS = ос4, S+CC5S = ос5,
где CLik — коэффициенты общего преобразования Лоренца. Так как
величины (4) и (4*) преобразуются по формулам
3
Afi=^aikAk, Al = Ai, Af5 = A5, (7)
h=0
т. е. соответственно как 4-вектор и инварианты. Так как величины Ai (і = 0, 1, 2, 3), квадратичные по г|), образуют 4-вектор, мы будем называть величины г|), обладающие трансформационными свойствами (2), «полувектором»
В явной записи величины Ai (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) имеют вид
Л = ^l+^2+?% + %?,
А і =^2+^1+^4 + ^3»
A2= — i\j>itp2 + і\р2г|)і + — І^З» A3 = гМі — \М>2 + ЬЬ — А = — + Ws + W2 — Wi,
Л) = — ^1% + — ^3^2 + ^M* і-
На основании этих выражений можно написать следующее тождественное соотношение для величин Ai:
А\ +A22 +Al +Al +Al = A20. (8)
2. Мы рассмотрели трансформационные свойства г|)-функции относительно преобразования Лоренца в рамках частной теории относительности. Если перейти к общей теории относительности, то, для того чтобы сделать возможным введение понятия полувектора, необходимо иметь в каждой точке пространства-времени ортогональную (точнее, псевдоортогональную) систему отсчета. Для этого мы введем систему 4 взаимно ортогональных конгруэнции кривых и, следуя Эйнштейну, выберем направления этих
1J Термин введен JI. Д. Ландау. 27-0919'418 В. А. Фок
конгруэнций как векторы тетрады. Рассуждения, приведенные в предыдущем пункте, остаются справедливыми и в случае общей теории относительности, если понимать под Ai тетрадные компоненты вектора.
Будем нумеровать тетрады латинскими индексами, а координаты — греческими, чтобы все они пробегали значения 0, 1, 2, 3. При суммировании по латинским индексам знак суммирования будет записываться явно, а при суммировании по греческим индексам — опускаться. Параметры конгруэнции кривых мы обозначим через h%, а их моменты — через hk,a. Так как используется индефинитная метрика, мы вслед за Эйзенхартом [7] 1) вводим величины ех = е2 = е3 = —1, е0 = +1. Тогда координатные и тетрадные компоненты вектора (соответственно А 0 и Au) 3) выражаются друг через друга как
Ah = Aah0k; A7-S ekA'khkt а. (9)
h
Обозначив через тетрадные компоненты бесконечно малого сдвига, из формулы
б Aa = TlaAfl dx", It0 = {" (10)
для изменения компонент вектора при параллельном переносе найдем следующее выражение для изменения при этом его тетрадных компонент:
OA- = 2 ецЪУшАн dsh (И)
Ki
где Уіні — коэффициенты вращения, введенные Риччи:
Tffez = (VofcP) = (VoA*.?) hlhl (12)
При этом Va обозначает ковариантную производную по х°.\
3. Рассмотрим теперь изменение компонент полувектора при бесконечно малом параллельном переносе. Для этого запишем
вф = yZelCidsl^. (13)
г) См. также превосходную сводку важнейших формул и фактов теории в работе Леви-Чивиты [8].
2) В дальнейшем тетрадные и координатные компоненты часто будут обозначаться одной и той же буквой. Чтобы избежать путаницы, мы будем помечать первые штрихом.ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 419
Под Ci следует понимать матрицы с элементами (Ci)mn, а под Cjty — четверку функций, т-я из которых дается формулой
4
т — Z (Cl) тп Yn •
ті— 1
Уравнение, комплексно-сопряженное относительно (13), имеет вид
бір = ?2 efit dsh (13*)
і
где Ct — эрмитово-сопряженная матрица. Законом параллельного переноса полувектора (13) определяется и закон параллельного переноса вектора, а именно
бAi = б (XpaiIp) = бїр а,ф + ара* б\р = гр2 ei (ctai + а A) dH ф. (14)
Если потребовать соответствия полученного изменения данному формулой (И), то на Ci накладываются условия
Cfal- + OiiCl = 2 ekakyikl. (15)
к
Так как к тому же А\ = Ipa4Ip и А'ъ = Ipa5Ip должны быть инвариантами, то
бА[ = гр 2 ei (Ctak + (X4C1) (16)
і
и 6^4б должны обращаться в нуль, откуда следуют дальнейшие условия
Cfa4 + a4C* = 0, Cfa5 + a ъСг = 0. (17)
Можно непосредственно убедиться, что общее решение уравнений (15) и (17) дается формулой
Cl = \ 2 aTп^кУтіи + U (18)
mk
где Ф\ — эрмитовы матрицы, коммутативные со всеми а*, равна как с а4 и а5. Если ограничиваться четырехрядными матрицами, то коммутативность со всеми a-матрицами означает пропорциональность единичной матрице. Если же рассматривать матрицы с большим числом строк и столбцов х), то матрицы Ф; не будут обязательно пропорциональными единичной матрице. Мы будем пользоваться четырехрядными матрицами и рассматривать Ф* как действительные числа.
Такие матрицы могли бы возникнуть при некоторых обобщениях урав^ нения Дирака (например, на случай задачи двух тел).
27*'420 В. А. Фок
Отметим, что, так как в Ci не входят матрицы а4 и а5, первые две компоненты гр-функции и последние две компоненты при преобразованиях комбинируются только друг с другом. Этого можно было ожидать априори на основании формул (2).
4. Определив понятие параллельного переноса полувектора, можно ввести понятие ковариантной производной последнего Dfy по направлению I в соответствии с формулой
z^=-Sr-cI*. ^19)