Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 142

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 205 >> Следующая


3

S+CCiS = 2

A=0 (6) S+OtliS = ос4, S+CC5S = ос5,

где CLik — коэффициенты общего преобразования Лоренца. Так как

величины (4) и (4*) преобразуются по формулам

3

Afi=^aikAk, Al = Ai, Af5 = A5, (7)

h=0

т. е. соответственно как 4-вектор и инварианты. Так как величины Ai (і = 0, 1, 2, 3), квадратичные по г|), образуют 4-вектор, мы будем называть величины г|), обладающие трансформационными свойствами (2), «полувектором»

В явной записи величины Ai (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) имеют вид

Л = ^l+^2+?% + %?,

А і =^2+^1+^4 + ^3»

A2= — i\j>itp2 + і\р2г|)і + — І^З» A3 = гМі — \М>2 + ЬЬ — А = — + Ws + W2 — Wi,

Л) = — ^1% + — ^3^2 + ^M* і-

На основании этих выражений можно написать следующее тождественное соотношение для величин Ai:

А\ +A22 +Al +Al +Al = A20. (8)

2. Мы рассмотрели трансформационные свойства г|)-функции относительно преобразования Лоренца в рамках частной теории относительности. Если перейти к общей теории относительности, то, для того чтобы сделать возможным введение понятия полувектора, необходимо иметь в каждой точке пространства-времени ортогональную (точнее, псевдоортогональную) систему отсчета. Для этого мы введем систему 4 взаимно ортогональных конгруэнции кривых и, следуя Эйнштейну, выберем направления этих

1J Термин введен JI. Д. Ландау. 27-0919 '418 В. А. Фок

конгруэнций как векторы тетрады. Рассуждения, приведенные в предыдущем пункте, остаются справедливыми и в случае общей теории относительности, если понимать под Ai тетрадные компоненты вектора.

Будем нумеровать тетрады латинскими индексами, а координаты — греческими, чтобы все они пробегали значения 0, 1, 2, 3. При суммировании по латинским индексам знак суммирования будет записываться явно, а при суммировании по греческим индексам — опускаться. Параметры конгруэнции кривых мы обозначим через h%, а их моменты — через hk,a. Так как используется индефинитная метрика, мы вслед за Эйзенхартом [7] 1) вводим величины ех = е2 = е3 = —1, е0 = +1. Тогда координатные и тетрадные компоненты вектора (соответственно А 0 и Au) 3) выражаются друг через друга как

Ah = Aah0k; A7-S ekA'khkt а. (9)

h

Обозначив через тетрадные компоненты бесконечно малого сдвига, из формулы

б Aa = TlaAfl dx", It0 = {" (10)

для изменения компонент вектора при параллельном переносе найдем следующее выражение для изменения при этом его тетрадных компонент:

OA- = 2 ецЪУшАн dsh (И)

Ki

где Уіні — коэффициенты вращения, введенные Риччи:

Tffez = (VofcP) = (VoA*.?) hlhl (12)

При этом Va обозначает ковариантную производную по х°.\

3. Рассмотрим теперь изменение компонент полувектора при бесконечно малом параллельном переносе. Для этого запишем

вф = yZelCidsl^. (13)

г) См. также превосходную сводку важнейших формул и фактов теории в работе Леви-Чивиты [8].

2) В дальнейшем тетрадные и координатные компоненты часто будут обозначаться одной и той же буквой. Чтобы избежать путаницы, мы будем помечать первые штрихом. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 419

Под Ci следует понимать матрицы с элементами (Ci)mn, а под Cjty — четверку функций, т-я из которых дается формулой

4

т — Z (Cl) тп Yn •

ті— 1

Уравнение, комплексно-сопряженное относительно (13), имеет вид

бір = ?2 efit dsh (13*)

і

где Ct — эрмитово-сопряженная матрица. Законом параллельного переноса полувектора (13) определяется и закон параллельного переноса вектора, а именно

бAi = б (XpaiIp) = бїр а,ф + ара* б\р = гр2 ei (ctai + а A) dH ф. (14)

Если потребовать соответствия полученного изменения данному формулой (И), то на Ci накладываются условия

Cfal- + OiiCl = 2 ekakyikl. (15)

к

Так как к тому же А\ = Ipa4Ip и А'ъ = Ipa5Ip должны быть инвариантами, то

бА[ = гр 2 ei (Ctak + (X4C1) (16)

і

и 6^4б должны обращаться в нуль, откуда следуют дальнейшие условия

Cfa4 + a4C* = 0, Cfa5 + a ъСг = 0. (17)

Можно непосредственно убедиться, что общее решение уравнений (15) и (17) дается формулой

Cl = \ 2 aTп^кУтіи + U (18)

mk

где Ф\ — эрмитовы матрицы, коммутативные со всеми а*, равна как с а4 и а5. Если ограничиваться четырехрядными матрицами, то коммутативность со всеми a-матрицами означает пропорциональность единичной матрице. Если же рассматривать матрицы с большим числом строк и столбцов х), то матрицы Ф; не будут обязательно пропорциональными единичной матрице. Мы будем пользоваться четырехрядными матрицами и рассматривать Ф* как действительные числа.

Такие матрицы могли бы возникнуть при некоторых обобщениях урав^ нения Дирака (например, на случай задачи двух тел).

27* '420 В. А. Фок

Отметим, что, так как в Ci не входят матрицы а4 и а5, первые две компоненты гр-функции и последние две компоненты при преобразованиях комбинируются только друг с другом. Этого можно было ожидать априори на основании формул (2).

4. Определив понятие параллельного переноса полувектора, можно ввести понятие ковариантной производной последнего Dfy по направлению I в соответствии с формулой

z^=-Sr-cI*. ^19)
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed