Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
U0a=-^VaS0, (58)
а дивергенция вектора S0 равна нулю [формула (29)].
Уравнения (57) имеют тот смысл, что дивергенция тензора равняется силе Лоренца. Поэтому T°d можно толковать как тен-8ор энергии-импульса. Тогда уравнения (57) — это уравнения Движения в общей теории относительности. Возможно, что было бы более последовательно рассматривать как тензор энергии-'428 В. А. Фок
импульса не действительную часть а весь комплексный тензор Woa, но мы не станем здесь вдаваться в обсуждение вопроса о том, какая из этих двух трактовок предпочтительнее.
Следует особо подчеркнуть появление здесь тензора Mpa электромагнитной напряженности в комбинации с тензором Риччи в виде эрмитовой матрицы
—HZTmW
8. Для того чтобы вывести из полученных соотношений кван-товомеханические уравнения движения, отвечающие уравнениям движения материальной точки (геодезическая линия), мы поступим следующим образом.
Выберем в области изменения пространственных переменных X1, X21 X3 полную систему функций
(х0, X19 X2, ;г3; ?) (? = 1, 2, 3, 4), (59)
таких, что каждая из них удовлетворяет уравнению Дирака 1), и все они нормированы согласно условию
Jjj ФлЧ* Vgdzi dx2dx3 = U (60)
В силу уравнений (26) и (27), если это условие выполняется при каком-либо одном значении х0, то оно выполняется и при любом другом значении х0. Определим матричный элемент некоторого оператора L как
Lmn = j j \ ^mLtyn V g dx і dx2 dx3. (61)
Отметим, что результаты предыдущего пункта и, в частности, уравнение (54) сохраняют силу, если подставить в Ao0^ и в Srp вместо функцию я|эп, а вместо — функцию я|)т, т. е. взять два разных решения уравнения Дирака. Поэтому уравнение (54) запишется теперь в виде
yj (im Vl-fDa%) = C^mYpАЛ>п +
1J По этому поводу см. [12], а также [6].ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 429*
Если это уравнение умножить на V gdxг dx2 dx3 и проинтегрировать по всему пространству, то слева сохранится только одно слагаемое и мы получим
"S^r IИ 1 У g dXi dx* dx*\ =
+ ^p (Rpa+Мра) ] ^n Vrg dXi dx2 dx^ (63^
что можно также записать символически в виде
J- (fDa) = TltfWa+ у» ( -±йра+^1л/ра) (64) или же, если положить
Pa=^rDa, (65)
в виде
-J5- (//>«) = C7PjP0 + ( у мра i?pa). (66)
Теперь можно истолковать операторы уР как операторы классической скорости dxp/dx°, а операторы P0 — как операторы ковариантных компонент импульса mg09 dx^/ds. Такое толкование позволяет осуществить переход к классической теории. Если при этом отбросить, сохраняя последовательность рассуждений, справа член, пропорциональный h, то мы получим в точности классическое уравнение движения заряженной материальной точки в гравитационном поле, а в том частном случае, когда электромагнитное поле отсутствует,— дифференциальное уравнение геодезической линии.
9. Ковариантные компоненты тензора
Waa = gGpWp.a = С^оРаЪ (55*)
несимметричны относительно перестановки индексов. Квантово-механическая величина Woa ввиду полученной интерпретации операторов су0 и Pa (как скорости и импульса) соответствует классической величине р0uGua:
Woa-^p0UoUaj (67)
где и0 — ковариантная компонента классической 4-скорости, а P0 — плотность массы покоя вещества. При этом величина р0иоиа симметрична по своим индексам.'430 В. А. Фок
Уравнение Дирака (27) можно вывести из вариационного принципа, который следующим образом выражается через тензор энергии-импульса:
6 И И ^v*'0 ~ У 8 dx* dx^dx* dxs = (68)
На основании этого равенства инварианту тт|хх4г|) следует приписать простой физический смысл плотности массы покоя.
10. Резюмируем результаты нашего исследования.
В основу было положено понятие параллельного переноса полувектора. Оно позволило трактовать чисто геометрически включение потенциалов сра наряду с импульсами ра в уравнение Дирака, и стал излишним формальный перенос в квантовую механику из классической выражения ра — (<е/с) <ра. Далее, указанное понятие позволило нам естественным образом включить потенциалы в геометрическую схему общей теории относительности, что может оказаться полезным при разработке единой теории электричества и гравитации.
Далее мы вывели уравнения Дирака в общей теории относительности, инвариантные по отношению к выбору как координатг так и тетрады. Попутно было получено явное выражение для дираковских операторов в криволинейных ортогональных координатах. Был построен тензор, дивергенция которого равна силе Лоренца, и этот тензор был истолкован как тензор энергии-импульса, а уравнение, которому он подчиняется,— как макроскопическое уравнение движения. Затем мы вывели квантово-механические уравнения движения электрона, которые отвечают классическим уравнениям для заряженной материальной точки или — в отсутствие электромагнитного поля — уравнениям геодезической линии. Наконец, был записан вариационный принцип, из которого могут быть выведены уравнения Дирака.
Цель, которую мы преследовали, состояла в геометризации дираковской теории электрона и в ее включении в общую теорию относительности. При этом вообще не были затронуты трудности, существующие в дираковской теории (например, наличие отрицательных значений энергии и отличная от нуля вероятность перезарядки электрона). Но возможно, что наши исследования косвенным образом помогут и при решении этих проблем, так как они показывают, что способна дать первоначальная, неизмененная теория Дирака.