Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не нашли способа аналитически проинтегрировать уравнения (18) и (19), так что провели их численное решение при отдельных конечных значениях Z0- всех этих случаях было принято, что U0 = 0, поскольку вблизи начала координат уравнение состояния при конечных t0 имеет вид р (р) = Kps, S <С 1. Таким путем были получены первые 4 строки таблицы.
МАССА, РАДИУС и НЕЙТРОННАЯ ПЛОТНОСТЬ ПРИ РАЗНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ to
Масса Радиус 1039 смЗ; нейтроны
to B единицах уравнений (18),(19) B единицах 0, для нейтронов B единицах уравнений (18), (19) В км, для нейтронов (-2-) VM-Oc Jr=O
1 0,033 0,30 1,55 21,1 0,25 0,062
2 , 0,066 0,60 0,98 13,3 0,52 0,56
3 0,078 0,71 0,70 9,5 0,82 2,2
4 0,070 0,64 0,50 6,8 1,17 6,4
OO 0,037 0,34 0,23 3,1 oo oo
При t0 -»¦ оо уравнения (18) и (19) можно заменить их асимптотическими формами
да
т- -мАпг (f'+-)- <21>
Точное решение этих уравнений имеет вид х)
е* = 3/7г^, u = Зг/14, (22)
что соответствует Z0 = оо, u0 = 0. Детальный анализ уравнений (20) и (21) показал, что других решений, соответствующих Z0 = оо, О ^ u0 ^ — оо, не существует. Точное решение (22) приближенных уравнений (20) и (21) было продолжено до значения г, при котором Z = 6 [приближение вида (20), (21) вполне приемлемо при Z^ 6] и начиная с которого проводилось численное решение точных уравнений (18) и (19) до точки г = гь, где Z = O. Так были получены данные последней строки таблицы.
Представляет интерес вопрос о том, может ли конечная гравитационная масса соответствовать бесконечному числу частиц (и бесконечной величине гравитационной энергии связи). Нетрудно показать, что не может. В самом деле, хотя плотность покоя
г) Это решение является предельным случаем решений V и VIf приведенных в работе Толмена [8]. О МАССИВНЫХ НЕЙТРОННЫХ СЕРДЦЕВИНАХ 345
частиц становится бесконечной при бесконечно большом давлении в центре, она все же остается интегрируемой и полное числа частиц всегда конечно. Элемент собственного объема сферического-слоя равен 4ne^r2* dr. Вблизи начала координат решение приближенных уравнений дает
"-І'-тГ-І1-4ГЧтГ.
причем при больших tup
NIV ~ р3 ~ ~ 1 /г3/2, так что вблизи начала
г О
В случае же несингулярных решений число частиц тем боле© конечно.
При очень малых значениях t уравнение состояния (И), (12) сводится к соотношениям р = Zp5y3 и р ~ t. Исходя из такого
-07— /А ' О /
0,6 6
-0,5 /
-0Л /
-0,3 /
-0,2 У
-V ^ 1 Z J — -г I I ill I I I I * tO 00 II I
0 10 20 50 40 50 60 70 80 90 arctg tQ
Фиг. 1 Зависимость т от t0 для нейтронов.
уравнения и из ньютоновой теории тяготения (которая должна^ по-видимому, давать правильные результаты при малых массах и плотностях) находим, что р ~ m*j2 или т ~ t2/z. На фиг. % 346 Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер
лредставлен примерный ход зависимости т от t0 в том случае, когда элементарные частицы — нейтроны. Масса т выражена в единицах массы Солнца (2-Ю33 г), а по оси абсцисс откладывается arctg t0. Вблизи начала координат кривая проведена пунктиром, ибо, как уже было отмечено, нейтронная сердцевина с массой менее 0,1 распадается на ядра и электроны.
Ход кривой удивителен тем, что масса возрастает с ростом t0, достигая максимума около t0 = 3, а затем уменьшается, падая примерно до V3ATiQ при t0 = оо. Иными словами, при т > zUm^ вообще не существует статических решений; при всех значениях т
Il
Неустойчивое I
равновесие /
5
I / /
N 0S / \ J
I I \ J
I 1 і Ik Средняя платность
Устойчивое \
равновесие \у_ 5
Фиг. 2
Зависимость свободной энергии от
средней плотности.
в интервале 3/4A7i0 > т > V3AftQ имеется по два решения, а при всех т < V3TTIq — по одному.
Картина отчасти проясняется, если учесть следующее. В решениях Эмдена для нерелятивистских политроп ([11]; ср. также ,[12]) уравнение состояния берется в виде р = Kpy ==A"px+1/n. При п < 5 или у > 6/5 были получены решения вполне удовлетворительные на первый взгляд (т. е. дающие конечную массу при конечном радиусе). Но Ландау [4] заметил, что, хотя эти решения и дают в каждом случае равновесную конфигурацию, такое равновесие не всегда устойчиво. Поэтому, если только не будет выполняться неравенство равновесная конфигурация будет неустойчивой. Это можно показать путем следующих приближенных оценок. Гравитационная составляющая свободной энергии О МАССИВНЫХ НЕЙТРОННЫХ СЕРДЦЕВИНАХ 347
системы отрицательна и пропорциональна р^?, где р — взятая соответствующим образом средняя плотность (используется ньютонова теория тяготения). Составляющая свободной энергии,
обусловленная сжатием, пропорциональна j р dv, т. е. р^ 1 {уф 1).
Поэтому F =—ap1/3+&pY_1. Решения для политроп имеют место как при 7 = 5/3 (>4/3), т. е. п = 3/2, так и при 7 = 5/4 (<4/3, но >6/5), т. е. при п = 4. Но, как можно видеть из примерных кривых
свободной энергии на фиг. 2, первое значение соответствует устойчивому, а второе — неустойчивому равновесию.
Результаты наших релятивистских расчетов при малых массах и малых плотностях и давлениях в центре (малые значения ?0), как уже отмечалось выше, должны, по-видимому, весьма точно согласоваться с данными нерелятивистских расчетов в случае уравнения состояния р = і?р5/з. Так как р — монотонная функция переменной кривые зависимости свободной энергии от f0 при фиксированном полном числе частиц, а значит, и при фиксированном значении M0 х) должны иметь при малых массах в общем
