Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 123

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 205 >> Следующая


ею = Ло'2/4/2(Д), (19)

где /3 (R) — положительная, а в остальном произвольная функция координаты R. Полагая /2 (R) = 1, мы приходим к достаточно широкому классу решений.

Мы признательны проф. Толмену и м-ру Омеру за предоставление нам соответствующих данных, а также за ценное обсуждение. 358 Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер

Подставляя результат (19) при /3 (R) = 1 в уравнение (15), получаем

© +A0^ = O. (20)

Решение этого уравнения таково:

e* = (Fx + G)4\ (21)

где FnG — произвольные функции координаты R.

Подстановка интеграла (19) в уравнение (16) приводит к результату, эквивалентному решению (21).

Из уравнения (17) и интегралов (19) и (21) найдем плотность массы:

8яр = J (т + GIFyi (т + GrIFf)'' • (22)

Решение (21) допускает меньшую свободу, чем казалось бы, хотя в него входят две произвольные функции FiaG; действительно, если взять координату R в виде функции новой переменной Л*, то дифференциальные уравнения (15), (17) и (18) не изменятся. Поэтому можно положить

G = R5f2. (23)

В конкретный момент времени (например, T = 0) плотность массы^можно задать как функцию координаты R. Тогда уравнение (22) становится дифференциальным уравнением первого порядка для функции F:

FF1 = 9зтД2ро (R). (24)

В решении этого уравнения имеется лишь одна произвольная постоянная. Теперь ясно, что задание условия f (R) = 1 эквивалентно выбору лишь однопараметрического семейства функций

в качестве начальных значений р0, тогда как в общем случае должно быть возможно произвольное задание начальных значений р0.

В качестве частного случая (24) примем теперь

{const'R2: const>0, при R<zRb¦

0 при Я>ЛЬ <25>

Частное решение этого уравнения имеет вид

( -lrl'*(R/Rbf* при B<Rb,

F= \ з (26)

^ —§./¦*/* при R>Rb, О БЕЗГРАНИЧНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ СЖАТИИ 359

где г0 — постоянная, введенная для большего удобства; это гравитационный радиус звезды.

Найдем преобразование координат, приводящее интервал к виду (1). Из сравнения выражений (1) и (13) явствует, что следует принять

e<»/2 = (Fx + G)2/3=r. (27)

Новую переменную t, зависящую от т и й, нужно ввести так, чтобы компоненты приняли вид (1). Взяв контравариантные компоненты метрического тензора, найдем:

g44 = е -v = f 2 __ j/2/r'2 = t2 Q _ ^ ? (28)

(29)

gU = 0 = ir — t'/r'. (30)

Здесь (30) — дифференциальное уравнение первого порядка для t. Пользуясь выражением (27) для г и выражениями (26) и (23) для FnG, находим

г, . { _(г0Л)1/2[л3/2-4 гЫ"2/з при R>Rb, —=rr'=l 1 (31)

4 { -r\^RRlz'\ir-'iHRb312]13 При R<Rb-

Общее решение уравнения (31) имеет вид

t = L(x) при R > Rb, (32а)

где и

t = M (у) при R < Rb, (326)

где

^І-КЛВД-І]+-^.

Здесь Lnikf- совершенно произвольные функции своих аргументов.

Вне звезды, где R > Rb, мы потребуем, чтобы интервал принял шварцшильдовский вид, так как мы снова пренебрегаем гравитационным действием уходящего излучения. Поэтому

* = (1 - г0/г)-\ (33)

ev = 1 — r0/r. (34) 360 Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер

Это требование фиксирует вид функции L; из уравнения (28) видно, что следует взять L (х) = X или

t = я. (35)

На поверхности звезды, где R = Rb, нужно приравнять друг другу LmM при всех значениях т. Этим условием определяется вид функции М:

* = M (у) = 4 r-V2 (Я»/* _ гз/2уз/2) __ /» + Го In . (36)

Формулой (36) с заменой (27) определяется преобразование от переменных йитк переменным г и t и — неявно, через уравнения (28) и (29) — метрический тензор.

Выясним теперь асимптотическое поведение функций ev и т при больших В этом случае из соотношений (36) и (27) следует приближенное равенство

t--Го In {±[(Д/ЛЬ)2_3] (1 -Зг]^/2Щ)2/з} . (37)

Отсюда мы видим, что, когда t стремится к бесконечности при фиксированном R, величина т стремится к конечному предельному значению, которое тем больше, чем больше R. После этого момента T0 наблюдатель, сопутствующий веществу, уже не сможет послать со звезды светового сигнала — конус, внутри которого заключен уходящий сигнал, схлопнется полностью. Если начальная плотность звезды составляет 1 г «см-3, а масса IO33 г, то этот срок T0 равняется приблизительно одним суткам.

Подставляя выражения (27) и (37) в уравнения (28) и (29), находим

— <38>

ev « e*-2t/ro [e-tfro + Цз - (-Щ )2]} . (39)

Отсюда видно поведение функций ех и ev при t оо. Когда R < Rb, функция ех стремится к конечному пределу, а функция ev стремится к нулю как ехр {—2t/r0}. Когда R = Rb, функция е% стремится к бесконечности как ехр {?/r0}, aev — к нулю как ехр {—t/r0}.

Эти количественные данные о поведении функций е% и ev могут дополнить качественный анализ, проведенный в части I. Итак, функция К стремится к конечному пределу при г < г0, когда ?-»- оо, а при г = г0 она неограниченно возрастает. При О БЕЗГРАНИЧНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ СЖАТИИ 361

оо функция V—оо, если г ^ г0. Мы предполагаем, что таким будет поведение всех коллапсирующих звезд, эволюция которых не останавливается на устойчивом стационарном состоянии. Конечно, реальные звезды должны кол лансировать медленнее, чем модель, которую мы исследовали аналитически, поскольку нужно учитывать влияние давления вещества, излучения и вращения.
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed