Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ub
Таким образом, масса сферического распределения вёщества, определяемая удаленным наблюдателем, равна значению иЪу которое принимает переменная и при г = гъ.
На выбор ро и U0 (начальных значений р и и в точке г = 0) нужно наложить следующие ограничения:
1. В соответствии с физическим смыслом давления P0^0.
2. Из уравнения (8) видно, что при всех конечных значениях
должно выполняться равенство и0 = 0. Так как компонента
gn = —е% нигде не должна быть положительной, U0 ^ 0 при бесконечных значениях е~% в начале координат. Однако можно показать, что из всех конечных значений р0 в начале координат лишь значение р0 = 0 совместимо с отрицательным значением Uot а для уравнений состояния типа рассматриваемых в нашей задаче исключается даже такая возможность, так что величина и0 должна быть равна нулю х).
3. Для каждого конкретного уравнения состояния требуется специальное исследование, чтобы выяснить, существуют ли решения, для которых 0 ^ u0 ^ —оо, а р оо при г-> 0.
х) Это можно показать следующим образом. Если выбрать некое конкретное значение р0, то обычно оказывается возможным представить уравнение состояния^*данном диапазоне давлений как р = Kps, взяв подходящий показатель степени S. Опираясь на такое уравнение состояния и на приближенную 342 Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер
III. КОНКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
Из проведенного анализа видно, что уравнениями (9) и (10) при заданном уравнении состояния полностью определяется вид распределения вещества. Приняв р = const и U0 = 0, можно в явном виде проинтегрировать уравнения (9) и (10), что дает внутреннее решение Шварцшильда [9, стр. 246]. Другие распределения вещества, соответствующие иным уравнениям состояния, приведены в статье Толмена [8].
Если принять, что вещество состоит из частиц, масса покоя которых равна Ji0 и которые подчиняются статистике Ферми, и пренебречь их тепловой энергией х), а также всеми действующими между ними силами, то можно показать, что в этом случае уравнение состояния в параметрическом виде запишется как (ср. [10], заменив плотность массы плотностью энергии)
р = К (sh t - t), (И)
P = A-Z (sh*--8sh^- + 3*), (12)
где
К = Jtfi04AW, (13) _ '=«¦{?+[.<«>
«форму уравнения (10) вблизи начала координат для случая и0 < 0 и конечной яе личины P0, имеем
dp р + 9(р) = р + Кр* dr 1=8 2 г 2 г '
Интегрирование этого уравнения показывает, что при s < 1 невозможно удовлетворить требованию р0 ^ 0, а при s ^ 1 возможно лишь значение Pq = 0. При уравнениях состояния, используемых в нашей задаче, всегда $ <С 1. Можно также отметить, что, согласно приведенному выше уравнению и уравнению (7), ev^ оо при г 0.
Условие теплового равновесия в статическом гравитационном поле дано Толменом [9, стр. 318] в виде T0Ygu = const, где T0 — температура покоя. Равновесное состояние распределения вещества, которое в основном перестало излучать, соответствует низкой поверхностной температуре T0. Если компонента метрики g44 всюду конечна, то температура T0 будет малой во всем объеме, занятом веществом. Согласно тем сингулярным решениям, в которых g44 = 0 в начале координат, температура в центре в принципе может быть высокой. Но, с одной стороны, из уравнения (7) следует, что обращению gA4 в нуль в начале координат соответствует бесконечное давление в центре, а в этом предельном случае приведенное ниже уравнение состояния сводится к равенству р = Зр, так что температура не влечет за собой радикально новых эффектов; с другой стороны, обращение g44 в нуль указывает на замедление вблизи начала координат всех физических процессов и поэтому может соответствовать нестатическим решениям, описывающим состояния, еще не достигшие равновесия, которых мы в этой статье не рассматриваем. О МАССИВНЫХ НЕЙТРОННЫХ СЕРДЦЕВИНАХ 343
Здесь р — максимальный импульс для распределения Ферми$ связанный с плотностью покоя частиц соотношением
N 8 Jt
Sh3
f. (15)
Подставляя приведенные выше выражения для р и р в уравнения (9) и (10), получаем
-^ = 4jrr2Z(sh*-*), (16)
dt ^ 4 sh^-2shT
dr ' 'ch^-4chl-+3 Х
X [-^l Kr* ( sh t-8 sh L + St) + и] . (17)
Эти уравнения следует интегрировать от значений и = 0, t = t0 при г = 0 до г = гь, где tb = 0 (что дает р = 0) и u =
Скажем также о единицах измерения величин, входящих в эти уравнения. Уравнения (3) — (5), из которых были получены уравнения (16) и (17), записывались в релятивистских единицах {9, стр. 201], т. е. в таких, что с = 1, G = 1 (здесь с — скорость света, a G — гравитационная постоянная). Этим единица времени и единица массы определяются через (произвольную пока) единицу длины. Мы фиксируем теперь эту последнюю, полагая К = 1/4л;. Тогда уравнения (16) и (17) принимают вид
(18)
dt = 4 sh shi-
r<r-2u) ch*-4ch4-+3
x
X
[4- Г3 (Sh t + 8 Sh L + St) + и] . (19)
Единица длины оказывается равной
1 / h \3/2
а
— JL (hY
~ Jt \ U0C )
№ / (JX0g)1/2 *
а единица массы равна
h—i1 — 1 ( h Vі2 с3
b~~Ga~^r(fio6»)1/2 *
В случае нейтронного газа а = 1,36 -IO6 см, Ъ = 1,83-IO34 г. Общий характер решения не зависит от массы нейтрона, ею определяется лишь масштабный множитель. 344 Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер
