Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 122

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 205 >> Следующая


8ЯГ44 = (V/r- 1/г2) + 1/г2, (3)

— (X/2+ X2Ii- І v/4), (4)

SnT741- -8nev-*<Tf = e-><i/r. (5)

Штрихами здесь обозначены производные по г, а точками — производные по t.

Тензор энергии-импульса T^ состоит из двух частей: 1) вклада вещества, соответствующего электронам, протонам, нейтронам и ядрам, и 2) вклада излучения. Вклад вещества можно мыслить как тензор для жидкости, движущейся в радиальном направлении, для которой в сопутствующих координатах выполняется определенное соотношение между давлением, плотностью и температурой. Излучение можно считать находящимся в равновесии с веществом при этой температуре, если не считать потока излучения, связанного с градиентом температуры.

Нам не удалось проинтегрировать эти уравнения, не полагая давление равным нулю. Можно, однако, получить некоторую информацию о решениях, опираясь на неравенства, следующие из дифференциальных уравнений и из условий регулярности решений. Из уравнений (2) и (3) можно видеть, что, если X убывает до нуля при г О медленнее, чем Н, то компонента T744 становится сингулярной, как и T11 и v' вместе или по отдельности. С физической точки зрения такая сингулярность должна означать, что выражение, взятое для тензора энергии-импульса, не учитывает некоего существенного физического обстоятельства, которое в действительности устраняет эту сингулярность. Кроме того, на ранней стадии своей эволюции звезда не должна обладать сингулярностью плотности или давления, и такая сингулярность не может развиться за конечное время.

Поэтому, если ^ = O при г = 0, функцию X можно выразить через T744, так как интегрирование уравнения (3) дает

г

X= —lnj^l { T74V2dr] . (6)

о

Следовательно, X ^ 0 при всех значениях г ввиду неравенства T744 > 0.

Зная теперь, что % ^ 0, из уравнения (2) легко извлечь информацию о величине v':

v' > о, (7)

23* 356 Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер

так как и X1 и (—T711) должны быть неотрицательными.

Если при г = оо взять время t1 соответствующее ходу часов (S), то мы найдем V = O при г = оо. Из этого граничного условия и из неравенства (7) следует, что

v < 0. (8)

Условием плоского характера пространства при больших г является равенство ^ = O при г = оо. Сложение уравнений (2) и (3) дает

8я (T744 - T11) = * (Xf + v')/r. (9)

Так как T144> 0, a T11 < 0, мы имеем

Я/ + v' > 0. (10)

Из граничных условий для A и v следует, что

X + V < 0. (И)

Для тех частей звезды, которые участвуют в коллапсе (т. е. для всех ее частей, кроме вещества, сдуваемого излучением),

из уравнения (5) следует положительность X. Так как функция X со временем возрастает, она может либо а) стремиться к некоторому асимптотическому значению равномерно как функция г, либо б) неограниченно возрастать (хотя и неравномерно в зависимости от г, так как при г = О всегда должно выполняться условие X = 0). Если бы функция X стремилась к конечному пределу, то сама звезда приближалась бы к стационарному состоянию. Мы предполагаем, однако, что связь между компонентами T7v^ не допускает вообще никакого стационарного решения, так что эта возможность отбрасывается. В случае «б» можно полагать, что при любом значении г > 0 функция X превысит любое наперед взятое значение, если время t достаточно велико. Если бы это было так, то объем звезды

гъ

V = An J e^2r2dr (12)

о

возрастал бы со временем неограниченно. Ввиду постоянства массы это означало бы, что средняя плотность вещества звезды стремится к нулю. Мы увидим, однако, что при всех значениях г, кроме г0, функция X стремится к конечному пределу и лишь при г = г0 неограниченно возрастает.

II

Чтобы ответить на этот вопрос, мы найдем решение уравнений поля для того предельного случая тензора энергии-импульса, когда давление равно нулю. В отсутствие давления уравнения О БЕЗГРАНИЧНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ СЖАТИИ 357

поля не имеют статических решений, кроме как при обращении в нуль всех компонент Tv^ . Полагая р = 0, мы приходим к свободному гравитационному коллапсу вещества. Можно думать, что общая картина решения, полученного таким образом, остается справедливой даже в случае отличного от нуля давления, если только масса достаточно велика, чтобы обеспечить коллапс.

Для решения этой задачи мы сочли удобным действовать по аналогии с работой Толмена [2] и воспользоваться новой системой координат, сопутствующих веществу. Затем, получив искомое решение, мы вернемся к интервалу вида (1) путем координатного преобразования.

Рассмотрим интервал вида

ds2 = dx2 - в® dm - + sin2 0 (іф2). (13)

Так как рассматриваются сопутствующие координаты, а давление равно нулю,

Ti* = р, (14)

а все прочие компоненты тензора энергии-импульса отсутствуют. Теперь уравнения поля имеют вид

вяГ^О = *-® —+ © +-W2 = O, (15)

8ЯГ22 = 8 л Tt33 = 0 = е - 5 (©72 - ©'2/4 — ©'©74) +

+ ©/2 + ©74+со/2 + ©2/4 + © ©/4, (16> 8яГ44=8яр = — е-® (©'' + |-©'2-©'©72) +

+ о)2/4 + ©со/2, (17)

8пеРТк1= -SnTS = 0 = ©'©/2 —ю©72 + ©\ (18)

Здесь и далее штрихи означают дифференцирование по Д, а точки — дифференцирование по т. Интеграл уравнения (18) получен Толменом х):
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed