Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Высказывалось предположение, что после истощения всех термоядерных источников энергии, по крайней мере в центральной части звезды, если эта звезда достаточно массивна, образуется сердцевина из нейтронного конденсата (см. [5, 6] и др.). Оценка минимальной массы, при которой такая сердцевина должна быть устойчивой, проводилась Оппенгеймером и Сербером [7], которые, О МАССИВНЫХ НЕЙТРОННЫХ СЕРДЦЕВИНАХ 339
приняв во внимание действие ядерных сил, получили значение /^0,1 rriQ. Ландау указал, что постепенное увеличение такой сердцевины, сопровождающееся выделением гравитационной энергии, может являться источником энергии звезды.
В связи с этим представляет интерес вопрос о том, приложим» (Ли такая модель конечной стадии звезды и к сколь угодно тяжелым звездам, т. е. существует ли верхний предел возможных размеров нейтронной сердцевины. Результат самого Ландау для холодного релятивистски вырожденного ферми-газа, процитированный выше, дает в случае нейтронного газа верхний предел, равный приблизительно 6^0, выше которого сердцевина должна терять устойчивость и коллапсировать. Против такого вывода могут быть два возражения. Первое: этот результат был получен на основе ньютоновой теории тяготения, тогда как при столь больших массах и плотностях необходимо учитывать общерелятивистские эффекты. Второе возражение: предполагалось, что ферми-газ является релятивистски вырожденным во всем объеме сердцевины, тогда как, с одной стороны, поскольку масса нейтрона велика, в основной части сердцевины более подходящим может оказаться нерелятивистски вырожденное уравнение состояния, а с другой стороны, нельзя пренебрегать гравитационным действием кинетической энергии нейтронов. Цель нашего исследования — выяснить, насколько изменится указанный вывод, если вместо ньютоновой теории тяготения исходить из общей теории относительности и взять более точное уравнение состояния. Сначала мы остановимся на общерелятивистском подходе к задаче о равновесии сферически-симметричных распределений вещества, а затем рассмотрим идеализированный частный случай холодного нейтронного газа. В заключение мы проанализируем полученные результаты и сравним их с некоторыми выводами проф. Толмена, которые приводятся в статье, публикуемой в этом же номере журнала [81.
II. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ РАВНОВЕСИЯ
Известно [9, стр. 239], что наиболее общему выражению для интервала в статическом сферически-симметричном случае можно придать вид
ds2 = dr2 __ r% dQ2 __ r% gin2 Q d(pZ ev (J)
1K = 1K (г), v = v (г).
Если в веществе отсутствуют поперечные натяжения и нет перемещения масс, то тензор энергии-импульса задается как [9, стр. 243]
TJ = Tf = TS=-P, TV=p, (2).
22* 340 Ю. Оппенгеймер, Г. Снайдер
где р и р — давление и макроскопическая плотность энергии, измеренные в сопутствующих координатах. При такой записи интервала и тензора энергии-импульса и в предположении равенства нулю космологического члена уравнения Эйнштейна принимают вид [9, стр. 244]
где штрихом обозначено дифференцирование по г. Вместе с уравнением состояния вещества р = р (р) эти три уравнения определяют механическое равновесие распределения массы и зависимость компонент g^v от г.
Граница распределения вещества соответствует значению г = = гь, при котором P = 0, причем при г <Сгь мы имеем р > 0. При г < гъ решение зависит от уравнения состояния вещества, связывающего величины р и р. Многим уравнениям состояния соответствует существование резкой границы с конечным значением гъ.
В пустом пространстве, окружающем сферически-симметричное распределение вещества, р = р = 0 и справедливо решение Шварцшильда [9, стр. 203]:
Постоянные AnB определяются из требования, чтобы на больших расстояниях от распределения вещества компоненты метрического тензора g^ соответствовали приближению слабого поля, т. е. В = 1 и A = —2т, где т — полная ньютоновская масса вещества, наблюдаемая удаленным наблюдателем [9, стр. 203 и 207].
Внутри границ вещества уравнения (3), (4) и (5) можно переписать следующим образом. На основании уравнения состояния р = р (р) уравнение (5) непосредственно интегрируется:
Snp = е-* (v'/r + 1 Ir2) — 1 Ir2, 8яр = е-* (I'Ir - Ur2) + Ilr21 dp __ Р + Р _,/
(3)
(4)
(5)
dr 2
e-M>-> = l+4/r, ev^ = B(l + Ct/r).
(6)
о
р(г)
о
Константа определяется из требования непрерывности
функции ev при переходе через границу:
ЧМ'-^М-ТТТЙЇГ]- m
о
2 т
гь
(7) О МАССИВНЫХ НЕЙТРОННЫХ СЕРДЦЕВИНАХ 341
Таким образом, ev — известная функция аргумента г, если р есть заданная функция переменной г. Введем теперь в уравнение (4) новую переменную
и (г) = г (1 — , или е~ь = 1—у-. (8)
Тогда оно примет вид
du/dr = 4яр (р) г%. (9)
В уравнении (3) заменим величину еее выражением (8), а величину V7 — ее выражением из (5); получим
-1-=-7(?^3 + ")' (Ю)
Уравнения (9) и (10) образуют систему двух уравнений первого порядка для и и р. Исходя из некоторых начальных значений и = U0 и р = P0 при г = б, будем одновременно интегрировать эти уравнения до г = гь, где р = 0, т. е. пока не будет достигнута граница распределения вещества. Значением и = иъ при г = гь определяется значение функции еиГь\ которая непрерывно сшивается на границе с внешним решением, так что
