Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Предположения первого класса следующие:
1) гравитационные потенциалы удовлетворяют системе уравнений Эйнштейна с так называемым «космологическим» членом, который может быть, в частности, равен нулю:
Rih-^gihR ± Xgik= -KTik (i, A= 1,2,3,4), (А)
гДе gik — гравитационные потенциалы, Tik — тензор материи, к —- некоторая постоянная, R = gihRik, а тензор Rik определяется равенством
„ __ дЧпУ7 din Vg fik] д ПЬ\.(іа\(к<у\
W^k of ^larbllal' W
причем Xi (і == 1,2, 3, 4) суть мировые координаты, а — символ Кристоффеля второго рода г);
2) материя находится в несвязанном состоянии и обладает взаимно относительным покоем; говоря менее строго, относительные скорости материи ничтожны сравнительно со скоростью света. При таких предположениях тензор материи Tik определится равенствами
Tik == 0» если і и к одновременно не равны 4, ^q
T 44 = C2Pg44,
где р — плотность материи и с — фундаментальная скорость; при этом, конечно, мировые координаты разделены на две группы: X1, х2, X3 названы пространственными координатами, а я4 — временной координатой.
3. Предположения второго класса сводятся к следующему:
1) по выделении из четырех мировых координат трех пространственных (X1, х2, х3) мы будем иметь пространство постоян-
Знак Rik и скалярной кривизны R изменен на обратный сравнительно с обычными обозначениями этой величины.322 А. А. Фридман
ной кривизны, могущей, однако, меняться с течением четвертой, временной координаты z4. Интервал ds х), определяемый равенством ds* = gib dxi dxk, можно написать, изменив соответствующим образом пространственные координаты, в следующем виде:
ds* = R2 (<dx\ + sin2 X1 dx\ + sin? X1 sin? X2 dxl) + 2glk dxx dz4 +
+ 2g24 dxz dx4 + 2g84 dx3 dxk + g44 dx\,
где R есть функция только от я4, R пропорционален радиусу кривизны пространства; таким образом, радиус кривизны пространства может меняться с течением времени;
2) в выражении интервала gl4, g24, g34 обращаются в нуль при соответствующем выборе временной координаты, или, кратко выражаясь, время ортогонально пространству. Это второе предположение не имеет, как мне кажется, в основе своей каких-либо физических или философских соображений и вводится исключительно в целях упрощения вычислений. Необходимо заметить, что миры Эйнштейна и де Ситтера являются частными случаями рассматриваемого предположения.
Предположения 1) и 2) дают нам возможность написать ds2 в виде
ds* = R2 (dx\ + sin5* dxl + sin? Z1 sin? Z2 dx23) + M2 dx\, (D)
где R зависит только от z4, a M является, вообще говоря, функцией всех четырех мировых координат. Вселенная Эйнштейна — частный случай, получаемый из формулы (D) заменой R2 на —R2Ic2 и M на 1, где R — постоянный (не зависящий от z4!) радиус кривизны пространства. Вселенная де Ситтера получается, когда в формуле (D) заменим R? на —R2Ic2, a M на cos z4:
dx2 = Idx2i + sin2 Xi dx2 + sin2 Z1 sin2 z2 dx23) + dx\, (D1) dx2 ---(dx\ -(- sin2 Z4 dxl + sin2 xi sin2 xz ^xI) + cos2 z4 dx\2). (D2)
4. Необходимо сказать еще несколько слов о тех интервалах, в которых заключены мировые координаты; иначе говоря, необходимо условиться, какие точки многообразия четырех измерений мы будем считать за различные. Не входя в более подробные пояснения, условимся пространственные координаты изменять в следующих интервалах: z1-b интервале (o, зх), z2-b интервале
Eddington A., Espace, Temps et Gravitation, 2 partie, Paris, 1921.
2) Придавая интервалу ds размер времени, мы обозначим его через dx;
в этом случае постоянная к будет иметь размерность длины, деленной на мас-
су, и в единицах GGS будет равна 1,87«Ю-27. См. Laue M., Die Relativitats-
theorie, Bd. II, Braunschweig, 1921, S. 185.О КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВА 323
(О, зх), Z8-B интервале (0, 2л;); что же касается временной координаты, то вопрос об интервале изменения ее оставим открытым, к нему мы вернемся в дальнейшем.
§2
1. Пользуясь уравнениями (А) и (С) в предположении, что гравитационные потенциалы определяются равенством (D), и полагая в уравнениях (А), что і = 1, 2, 3, к = 4, найдем
Эти равенства дают два случая: 1) Rt (z4) = О, R не зависит от Z4 и является постоянной; назовем этот случай стационарным миром и 2) Rf (z4) Ф О, M зависит только от Z4; назовем этот случай нестационарным миром.
Обращаясь сначала к стационарному миру, выпишем уравне-ния (А) для і = 1, 2, 3 в предположении различных индексов; уравнения эти дадут нам такую систему формул:
д2м , дм Л
-CtgxilT- = 0,
дхг дх2 дх2
д2М , дМ Л -Ctgaji-t- = Of
Ox1 дх$ дх$
д2М дМ Л
-O-г--Ctg Z2-T-= и.
дх2 дх3 ° 4 дя3
Интегрируя эти уравнения, найдем M ~ A (z3, z4) sin Z1 sin z2 + 5 (z2, z4) sin X1 + C (Z1, z4), (1)
где А, В, C — произвольные функции своих аргументов. Разрешая обычными приемами уравнения (А) относительно тензора Rik, исключая из полученных и неиспользованных еще уравнений неизвестную плотность 1Jpn подставляя выражение (1) для M в эти уравнения, мы после длинных, но элементарных вычислений найдем, что для M возможны следующие два выражения: