Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 111

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 205 >> Следующая


M = M0 = const, (2)

M = (AfiX4i + В о) cos Z1, (3)

где M0, i40, B0 — постоянные величины.

В случае когда M равно постоянному числу, мыТимеем для стационарного мира случай цилиндрического мира. При этом удобнее оперировать гравитационными потенциалами, получае-

1) Плотность р является у нас неизвестной функцией мировых координат

xIt #2» а?з, хА. 21* 324 А. А. Фридман

мыми из формулы (D); определяя плотность и величину X, получаем известный результат Эйнштейна:

P = W M= — R<

где M — общая масса всего пространства.

В другом возможном случае, когда M определяется из формулы (3), мы путем рационального изменения х4 *) приходим к шаровому миру де Ситтера, в котором M = cos X1; пользуясь формулой (D2), найдем следующие соотношения де Ситтера:

Таким образом, стационарный мир может быть или цилиндрическим миром Эйнштейна, или сферическим миром де Ситтера.

2. Обратимся теперь к изучению другого возможного мира — нестационарного. В этом случае M есть функция только х4; соответственно изменяя х4, мы можем без ограничения общности положить M = 1; имея в виду большие удобства наших обычных представлений, напишем в форме, аналогичной (D1) и (D2):

ds2 = — R*?a) [dx\ + sin2 Xi dx\ + sin2 Xi sin2 я2 dx\ ) + dx\. (D3)

Нашей задачей является определение R и р из уравнений (А). Очевидно, что уравнения (А), в которых значки различны, ничего не дадут; уравнения (А), в которых і = k = 1, 2, 3, дадут одно соотношение4

R'2 , 2 RR" .с2 л //ч

#2--1--да™ ^ = of (4)

а уравнение (А), в котором j = Zc = 4, дает равенство

3 R'* 3 с2

Д2 + Д2

причем

X Kc2P, (5)

д, _ dR J^n d2R

dx4 dxI

Так как Rt Ф 0, то интегрирование уравнения (4) после замены для удобства х4 на t даст нам уравнение

А_ft і ^ J?3

JL (M-Y= д+*»д (6)

c2 V dt J R ' К '

1J Указанное изменение производится с помощью формулы dx€ = = Va0X4 + B0dx4. О КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВА 325

где А — произвольная постоянная. Из этого уравнения R получится путем обращения некоторого эллиптического интеграла, т. е. путем решения относительно R уравнения

*-т W7~T^dx+B' (7)

а f A-X-r-g^r*

где В ж а — постоянные; при этом, конечно, надо помнить об обычных условиях изменения знака у квадратного корня. Уравнение (5) дает нам возможность определить р:

P = W (8)

через всю массу M пространства; постоянная А выразится равенством

Л = (9)

принимая, что масса M — величина положительная, мы и для А получим положительное значение.

3. Изучение нестационарного мира основано на изучении уравнений (6) и (7); при этом, конечно, величина X не определяется сама собой, и мы при изучении уравнений (6) и (7) будем предполагать, что X может принимать любое значение. Определим те значения переменной х, при которых квадратный корень, входящий в формулу (7), может изменить свой знак. Ограничиваясь случаем положительного радиуса кривизны, нам достаточно рассмотреть значения для х, при которых подкоренное выражение обращается в нуль или бесконечность в интервале (0, оо) для х> т. е. при положительных X.

Одно из значений х, при котором квадратный корень в формуле (7) обращается в нуль, есть значение х = 0; другие значения X, при которых квадратный корень в формуле (7) может изменять свой знак, определятся при изучении положительных корней уравнения

А — х + -^-х3 = 0.

Обозначая Х/Зе2 через г/, построим семейство кривых третьего порядка в плоскости (х, г/), определяемое уравнением

уя* — X + А = 0, (10) 326 А. А. Фридман

где А — параметр семейства, меняющийся в интервале (0, оо). Кривые нашего семейства, показанные на рисунке, пересекают ось X в точке X = А, у = 0 и имеют максимум в точке

_ ЗА _ 4

2 ' У~~ 27A2 '

Рассмотрение чертежа показывает, что при отрицательных А, уравнение А — X + (W3c2) х3 = 0 имеет один положительный

У 0,5
ол - \
0,3 - \
0,2 - V
0,1 о -
/ I Yz 3 4 5 6 X
-0,1 - N(
-0,2 - T^ % А
-0,3 -
-Ot4 - I
-0,5 -

корень х0, лежащий в интервале (О, А); рассматривая х0 как функцию X ж А:

х0 = 6 (X, А),

найдем, что 0 — возрастающая функция от X и возрастающая функция от А. Далее, если А, лежит в интервале (0, 4/o то

уравнение наше будет иметь два положительных корня: х0 = = 0 (X, А) и Zo = О (А,, Л), причем X0 лежит в интервале (^4, 8/2^4), a Xq — в интервале (8/2^4, оо); 0 (А,, А) будет возрастающей функцией как от А,, так и от А; О (А,, А) будет убывающей функцией от А, и от Л. Наконец, если А, больше V9 (C2JA2i)1 то наше уравнение не будет иметь положительных корней.

Приступая к исследованию формулы (7), сделаем одно замечание: пусть в начальный момент, т. е. при t = t0, радиус кривиз- О КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВА 327

ны равен R0. В этот начальный момент квадратный корень, стоящий в формуле (7), будет иметь знак плюс или минус, смотря по тому, возрастает ли радиус кривизны с течением времени при t = t0 или нет. Изменяя время t на —t, мы всегда можем приписать этому квадратному корню знак плюс, иначе говоря, без ограничения общности, можем время выбрать так, чтобы радиус кривизны в рассматриваемый начальный момент t = t0 возрастал с течением времени.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed