Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку лучи света представляют собой прямые линии, мы можем пользоваться при выводе формул для параллакса гиперболической тригонометрией. Таким образом, находим
1J Преобразование (18) можно, конечно, применить и в системе А. Тогда
элемент длины принимает вид
Xg p=sh Cth
R '
или
P = -Rcth-R-
а
(20)
— dh2 — R2 sh2 — Г^2 sin2 г|) сШ2]
fc2 dt2.
(19А)
В (19А) все компоненты gV обращаются в нуль при h = оо, но компонента g44 остается равной 1; в выражении (19Б) компонента gu тоже обращается в нуль. 312 В. де Cummep
Отсюда следует, что в системе Б параллакс звезды никогда не может быть равен нулю. При h = оо имеем р = a/R. С помощью преобразования (18) получаем
Следовательно, р достигает своего минимального значения a/R при % = V2я. При больших значениях которые возможны лишь в сферическом пространстве, параллакс р начал бы снова увеличиваться, и при г = TtR мы получили бы р = 90°. И действительно, если сферическое пространство проектируется с помощью преобразования (18) на гиперболическое пространство, то проекции антиподных точек совпадают: звезда, находящаяся в антиподной точке, соответствующей Солнцу, проектируется в само Солнце.
Было бы интересно вывести формулу (20'), рассмотрев ход лучей света в системе координат г, г|), 8. В этой системе скорость света равна
Строго говоря, г здесь — расстояние от звезды до Земли, а не до Солнца. Но эти два расстояния можно считать одинаковыми, если пренебречь величиной а2/г2. Таким образом, мы получаем, если использовать обозначения статьи I,
(20')
Уравнение для луча света принимает вид
Параллакс определяется уравнением 1)
dp _ tg V dr ~ г *
р= V — X.
Теперь мы имеем [1, стр. 718]
dx _ IgV dr dV + г dV »
или
dx __ dV tg 7 dv ~~ dr г
откуда сразу же следует уравнение для р. О ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 313
из которого, если пренебречь членом а2/г2, находим
P= -J-VrI +er2,
что совпадает с формулой (20').
4. Уравнениями движения материальной точки в чисто инерционном поле будут дифференциальные уравнения геодезической линии
<21>
V q
или, если мы ограничим себя такими системами отсчета, в которых компоненты g^v не зависят от X4 = et,
P q V
В оистеме В, которая соответствует ньютоновской теории инерции, компоненты gij, если мы возьмем прямоугольные декартовы пространственные координаты, даются формулой (1) и все скобки равны нулю. Следовательно, в этом случае
Таким образом, траектория частицы, движущейся по инерции и не испытывающей воздействия поля тяготения, представляет собой прямую линию в евклидовом пространстве, причем скорость частицы постоянна.
В системе А мы имеем в координатах г, г|), 8, et
I J2 } = — i?sin%cos%, I ^3 J= — R sin % cos % sin21|),
{121 ( 13 1 1 (331 (231
2 /={ 3 I = -RctgX' { 2 I=" sin^cos ^ {3| = Ctg^
Остальные скобки равны нулю. Получаем
Л*— -Actev^--^__2ctetb ^ dQ
C^dP - R ClgX cdt cdt zctStP cdt cdt ' й2і|) 2 . dr d\1> . . , , ( dQ \2
lFWr= ~"я"c gXТЗГТ5Гsin cos (тл~) • 314 В. де Cummep
Мы можем положить г|) = 90°, dty/dt = 0. Затем мы находим жнтегралы площадей и живой силы:
i^sin2X (ж) =с'
D9-9 / <20 \2 , / dr \2 (22)
Выделяя dt, находим дифференциальное уравнение орбиты:
(|)2 + i?2sin^ = i-ffsin4Xi (23)
Его интегралом будет
tg X сое (в-в0) = ^jfz7. (24)
Это — уравнение прямой, т. е. геодезической, линии в сферическом или эллиптическом пространстве. Из второго уравнения (22) явствует, что скорость здесь постоянна. Таким образом, в системе А материальная частица, двигаясь по инерции, описывает прямую линию в эллиптическом пространстве, причем скорость ее постоянна.
В случае системы Б мы используем координаты г, ф, 0, ct. Тогда мы имеем
{"}=—ifbr. {T} = —г- {?}=-"І"2Ч>, {4,4}-er'
U2H133K. {?}-
{23 1 ґі41
3 J = ctg (4 )= '
а остальные скобки равны нулю. Теперь мы находим
^«+•[(-^¦+-¦(-лгП.
d2Q 2 dr dQ 0 A . d\p dQ -—------2 ctg Ip —^--
єг
1+єг2 '
с2 dt2 T с dt с dt ь r с dt с dt '
d2\p __ 2 dr di|) / W v2
c2 dt2 г с dt с dt
. sin* cos яP(^w) .
Мы можем снова принять і|) = 90°, dty/dt = 0. Интегралы площадей и живой силы таковы:
о dB
' S~c'
(#r+'! (-f)'—<25> О ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 315
Дифференциальное уравнение траектории будет иметь вид
<26>
Интегрирование легко проводится подстановкой у = 1/2А Получаем
r2[l + ecos2 (G-G0)] = ^-, (27)
где
/4ее2+ к*
Это будет уравнением прямой линии в эллиптическом пространстве *) только в том случае, если е = 1 или с = О, т. е. dQ/dt = 0. Таким образом, траектория вырождается в прямую лишь, в том случае, если она проходит через начало координат.
Мы можем в заключение преобразовать результат интегрирования, введя вспомогательный угол и. Получаем формулы
Г2 = ІД% (е ch 2м —1), г2 cos 2 (0 - G0) = у R2k (е - ch 2и), г2 sin 2 (6 - G0) = I- R2k V^zi1 sh 2и, (28)
tg(G-e0) = |/ ^thu9
и = — + U0-
Мы имеем
dr 9 dr
IT = cos^ir-
х) В координатах h, -ф, 0 (гиперболическое пространство) уравнение (27) принимает вид
