Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
4. Рассмотрим случай, когда X > 4/д(с2/А2), когда, следовательно, уравнение А — х + (Х/Зс2) х3 = 0 не имеет положительных корней. В этом случае уравнение (7) перепишется следующим образом:
причем, согласно замечанию, сделанному в конце предыдущего пункта, квадратный корень будет всегда положителен. Отсюда следует, что R будет возрастающей функцией от t; на начальное значение радиуса кривизны R0 никаких в этом случае ограничений не налагается.
Так как радиус кривизны не может быть меньше нуля, то, уменьшаясь от R0 с уменьшением t, согласно формуле (И), радиус кривизны через некоторый промежуток времени t' дойдет до нуля. Пользуясь очевидной аналогией, будем называть промежуток времени, понадобившийся, чтобы радиус кривизны от 0 дошел до R0, временем, прошедшим от сотворения мира этот промежуток t' определяется равенством
Условимся в дальнейшем рассматриваемый мир называть монотонным миром первого рода.
Время, прошедшее от сотворения монотонного мира первого рода, рассматриваемое как функция R0, A1 X, обладает следующими свойствами: 1) оно возрастает с увеличением R0; 2) оно убывает с увеличением А, т. е. с увеличением массы материи пространства; 3) оно убывает с увеличением X. Если А > 2I3R0, то при любых X время, протекшее от «сотворения мира», конечно; если A ^ 2I3R0, то всегда найдется такое характеристическое значение
R
(И)
(12)
Время, прошедшее от сотворения мира, характеризует время, прошедшее от момента, когда пространство было точкой (R = 0) до нынешнего его состояния (R = R0); это время может быть бесконечным. 328 А. А. Фридман
X = X1 = 4/9(с2Л42), что с приближением X к этой величине, время, прошедшее от «сотворения мира», будет беспредельно возрастать.
5. Положим далее, что X заключено в интервале [0, 4/в(с2Л42)]; тогда начальное значение радиуса кривизны R0 может лежать в одном из трех интервалов: (0, z0), (z0, z6), (х'о, оо). Если R0 лежит в интервале (z0, zo), то квадратный корень в формуле (7) имеет мнимое значение и пространство с такой начальной кривизной не может существовать. Случай, когда R0 лежит в интервале (О, z0), мы рассмотрим в следующем пункте, теперь же остановимся на третьем случае, когда R0 >> Xq или R0 >> d (X, ^4). В этом случае рассуждениями, аналогичными приведенным в предыдущем пункте, можно показать, что R будет возрастающей функцией времени, причем R может меняться, начиная с х'0 = = d (X, А); промежуток времени, прошедший с момента, когда R = z0, до момента R = R0, назовем временем, протекшим от «сотворения мира», и обозначим через Ґ:
Условимся рассматриваемый мир называть монотонным миром второго рода.
6. Рассмотрим, наконец, случай, когда X заключено в интервале (—оо, 0). В этом случае, если R0 >> z0 = 6 (X, А), то квадратный корень в формуле (7) становится мнимым и, следовательно, пространство с указанным радиусом кривизны не может существовать. Если R0 < z0, то рассматриваемый случай будет совершенно одинаков со случаем, опущенным при рассмотрении в предыдущем пункте. Итак, положим, что X лежит в интервале [—оо, 4/9 (с /А2)], a R0 <С z0. Обычными рассуждениями х) можно в этом случае показать, что R будет периодической функцией от ^ с периодом tn, который мы назовем периодом мира и который будет определен равенством
причем радиус кривизны будет меняться от нуля до z0. Условимся такого рода мир называть периодическим. Период периодического
1) См., например, Weierstrass К., Ueber eine Gattung der reel periodischer Functionen. — Monatsber. Konigl. Akad. Wiss., 1866, а также Нот /., Zs. Math. Phys., 47, 400 (1902), В нашем случае необходимо, конечно,
внести некоторые видоизменения в рассуждения цитированных авторов; впрочем, периодичность в нашем случае устанавливается путем элементарного рассмотрения.
(13)
(14) О КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВА 329
мира возрастает с возрастанием X, стремясь к бесконечности, когда X стремится к X1 = 4/9(с2Л42).
При малых X период tn определяется приблизительной формулой
fn = -^. (15)
На периодический мир можно смотреть с двух точек зрения. Если считать два явления совпадающими, коль скоро совпадают пространственные координаты, а временные отличаются на целое число периодов, то радиус кривизны мира, увеличиваясь сначала от 0 до х0, будет затем уменьшаться до нуля: тогда время существования мира будет конечным.
С другой стороны, если изменять время ОТ —оо ДО +OO, т. е. если считать два явления совпадающими, коль скоро совпадают не только их пространственные координаты, но и их временные координаты, то мы придем к действительной периодичности кривизны пространства.
7. Данные, которыми мы располагаем, совершенно недостаточны для каких-либо численных подсчетов и для решения вопроса о том, каким миром является наша Вселенная; быть может, проблема причинности и проблема центробежной силы прольют свет на рассматриваемые здесь вопросы. Следует отметить, что в полученных нами формулах «космологическая» величина X не определяется, являясь лишней константой задачи; быть может, электродинамические соображения смогут определить эту величину. Полагая X = О и считая M равной массе 5- IO21 наших Солнц, будем для периода мира иметь величину порядка 10 миллиардов лет.
