Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
? = р sin гр sin 0,
т] = р sin г|) cos 0,
? = р cos г|).
Эта проекция ограничена «гиперболой»
R2 + I2 + Л2 + ?2 — T2 = 0, или 1 + є (р2 - T2) = 0, (б)
которая представляет собой проекцию точек на бесконечности на гиперболоид (а). Та часть пространства u = R1 которая находится вне гиперболы (б), представляет собой проекцию двуполостного гиперболоида, сопряженного гиперболоиду (а). Из выражения (16) видно, что на ограничивающей «гиперболе» (б) все компоненты ^jylv обращаются в бесконечность. О ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 309
И, наконец, путем преобразования
R sin
д /1 +8 (p2-t2)'
Г__P
R Vi=^ '
т
мы находим формулу (8Б).
В трехмерном пространстве с элементом длины (11) мы можем перенести начало координат в точку с координатами ^1, B1; при этом элемент длины, выраженный через новые координаты, будет снова иметь вид (11). Точно таким же образом мы можем в выражении (14) перенести начало координат в точку с координатами o1, ^1, ^1, B1, соответствующую точке ^1, ^1, B1, Ct1 в (8Б). Элемент длины в координатах, отнесенных к этому новому началу координат, будет снова иметь тот же вид (14) и может быть снова преобразован к новым переменным г|/, В', ct.' и после этого снова примет вид (8Б). Конечно, et' будет, вообще говоря, отличаться от ct.
В обеих системах А и Б всегда есть возможность найти в каждой точке четырехмерного пространства-времени систему отсчета, в которой компоненты ^jjiv зависят только от одной пространственной переменной («радиус-вектора») и не зависят от «времени». В системе А «время» таких систем отсчета одинаково везде и всегда, но в системе Б это не так. В системе Б нет универсального времени; в ней нет существенной разницы между «временем» и другими тремя координатами. Ни одна из них не имеет реального физического смысла. В противоположность этому в системе А время существенно отличается от пространственных переменных.
3. Продолжая сравнение двух систем, мы рассмотрим ход лучей света. Если мы используем координаты г, г|), В, et, то скорость света в системе А постоянна и лучи света, которые в четырехмерном пространстве-времени распространяются по геодезическим, в трехмерном пространстве г, В также будут распространяться по геодезическим. К треугольникам, построенным такими лучами, применимы обычные формулы сферической тригонометрии. Поэтому если мы предположим, что Солнце покоится в начале координат, то, обозначив расстояние от Солнца до Земли через а, получим, что параллакс х) р звезды, находящейся на расстоянии г от Солнца, определяется соотношением
tgp^sin-^ctg-^-,
а
1J Параллакс равен 90° — А, если А — угол у Земли, а^угол у Солнца равен 90°. В сферической геометрии угол у звезды не равен, конечно, 90° —A9 как это имеет место в евклидовой геометрии. 310 В. де Cummep
или, поскольку можно пренебречь квадратом величины a/R,
P=ITctS^- (17>
То же самое получается и в системе отсчета, задаваемой координатами г, г|), 8, ct. Преобразование (12) оставляет при проектировании все прямые линии снова прямыми. Более того, мы легко можем убедиться, что лучи света должны быть прямыми в системе координат г, г|), 6, ct. Скорость света в этой системе равна
_ с(1+8г2) ~Уї+ег2 Sin2F '
где V — угол между радиус-вектором и касательной к лучу света. Тогда уравнение луча света принимает вид [1, стр. 717]
SinF = -, г '
где к — постоянная. Это уравнение прямой линии. Таким образом, параллакс определяется обычными формулами евклидовой геометрии и мы имеем выражение
а а г
P = T = -Rct^-R •
которое аналогично выражению (17).
Следовательно, параллакс равен нулю при г = lI2TtR, т. е. при самом большом расстоянии, которое возможно в эллиптическом пространстве. Если мы примем, что наше пространство сферическое, т. е. что возможны еще большие расстояния, то параллакс р мог бы стать отрицательным и при г = nR мы могли бы получить р = —90°.
В системе Б лучи света не являются геодезическими линиями ни в трехмерном пространстве (г, г|і, 6), ни в пространстве (г, г|), 8). В пространстве (г, г|), 6) скорость света равна v = с cos %. Если мы теперь введем новую переменную h в соответствии с уравнением
dr
= cos
интеграл которого равен
(18)
то скорость света в радиальном направлении будет постоянной. О ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 311
При этом элемент длины принимает вид х)
— dh2 — Л2 sh2 Щ2+ sin2 -ф dQ2] + с2 dt2
ds2
(19Б)
Трехмерное пространство данной системы отсчета есть пространство с постоянной отрицательной кривизной, т. е. гиперболическое пространство, или пространство Лобачевского. Из выражения (18) явствует, что эллиптическое пространство целиком отображается на все гиперболическое пространство; отображение же сферического пространства дважды покрыло бы гиперболическое пространство.
В системе отсчета h, \6, ct. скорость света постоянна [во всех направлениях, хотя преобразование (18) и было найдено из условия ее постоянства в радиальном направлении] и лучи света являются прямыми (т. е. геодезическими) линиями в трехмерном гиперболическом пространстве (?, г|), 8). Таким образом, это гиперболическое пространство играет ту же роль в системе Б, что и эллиптическое пространство в системе А и евклидово пространство в системе В, если рассматривать их с точки зрения распространения луча света. Если же учитывать и движение материальных частиц (механику), то аналогия нарушается из-за наличия в знаменателе множителя ch2 h/R.
