Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Эти цифры могут иметь, конечно, лишь иллюстративное зна чение. А. А. ФРИДМАН
О ВОЗМОЖНОСТИ МИРА С ПОСТОЯННОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНОЙ ПРОСТРАНСТВА*
§ 1
1. В заметке «О кривизне пространства» х) мы рассмотрели те решения космологических уравнений Эйнштейна, которые приводят к типам мира, обладающим в качестве общего признака постоянной положительной кривизной; при этом мы обсудили все возможные случаи. Однако возможность получить из космологических уравнений мир с постоянной положительной кривизной находится в тесной связи с вопросом о конечности пространства. Поэтому представляет интерес посмотреть, можно ли получить из тех же уравнений мир с постоянной отрицательной кривизной, о конечности которого едва ли можно говорить даже при некоторых дополнительных предположениях.
В настоящей заметке будет показано, что из космологических уравнений Эйнштейна действительно можно получить мир с постоянной отрицательной кривизной. Как в упомянутой работе, так и здесь мы должны различать два случая, а именно: 1) случай стационарного мира, кривизна которого постоянна во времени; и 2) случай нестационарного мира, кривизна которого хотя и постоянна в пространстве, но меняется со временем. Между стационарными мирами с постоянной отрицательной и с постоянной положительной кривизной имеется существенное различие. Именно, миры с отрицательной стационарной кривизной не допускают положительной плотности вещества; она должна быть или отрицательной, или нулевой. В соответствии с этим аналогом физически возможных стационарных миров (т. е. миров с неотрицательной плотностью вещества) является не мир Эйнштейна, а мир де Ситтера ^).
* Фридман А. А., Избранные труды, «Наука», M.,' 1966, стр. 238. (перепечатывается незначительными исправлениями).
Friedmann A., Zs. Phys., 10, 376 (1922). (См. данный сборник, стр. 320. —Прим. ред.)
2) На то, что возможность мира с отрицательной кривизной пространства требует особого исследования, мне указал мой друг проф. Я. Д. Тамаркин. о ВОЗМОЖНОСТИ МИРА с постоянной ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНОЙ 331
В заключение этой заметки мы коснемся вопроса о том, можно ли вообще судить о конечности или бесконечности пространства по его кривизне.
2. Обратимся к общим предположениям, которые мы будем разделять на те же два класса, что и в упомянутой выше работе; при этом мы сохраним наши старые обозначения. Предположения первого класса заключаются в том, что в качестве космологических уравнений Эйнштейна мы возьмем за основу уравнения (А), (В), (С) упомянутой работы. Второй класс предположений будет теперь отличаться от старого. Предположив, что одну из мировых координат Z4 можно рассматривать как временную координату, мы можем придать (для рассматриваемого случая мира с отрицательной постоянной кривизной пространства) второму классу гипотез следующую формулировку: интервал ds* должен иметь вид
ds2= R*(d*l + dxl + dxb +M2dxl т
xS
где R есть функция времени, a M — функция всех четырех мировых координат. Постоянная отрицательная кривизна пространства в нашем мире при этом пропорциональна —HR% l).
Учитывая, что для нашего мира ds2 образует неопределенную форму, можно, изменив обозначения, записать формулу (D1) в виде
JT2= (dx\ + dxl + dxl) +M2dx* (D»)
Разумеется, пространственная кривизна нашего мира остается отрицательной и пропорциональной —1 /R2j.
Наша задача состоит в том, чтобы найти две функции RnM1 удовлетворяющие космологическим уравнениям Эйнштейна, т. е. уравнениям (А), (В) и (С) упомянутой заметки.
Полагая в (А) і = 1, 2, 3 и к = 4, получаем следующие три уравнения:
D, / V дМ Г), J ч flM r>9 / \ дМ А
R («о—=R <ъ) -STas R {Xi) ^r=
Эти уравнения показывают, что рассматриваемые миры могут принадлежать одному из двух типов.
Тип 1. Стационарные миры, R' = О, R не зависит от времени.
Тип 2. Нестационарные миры, R' Ф О, M зависит только от времени.
Рассмотрим сперва случай стационарного мира; решение для нестационарного мира отрицательной кривизны имеет большое
1J Относительно линейного элемента см., например, Bianchi L.y Lezioni di geometria differenziale, v. 1, Bologna, 1923, p. 345. 332 А. А. Фридман
сходство с решением для нестационарного мира с постоянной положительной пространственной кривизной; поэтому мы коснемся нестационарного случая совсем кратко.
§ 2
1. Уравнения (А) для индексов і, к = 1, 2, 3 дают
д2М Q д2М 1 дМ дЧ1 , J_ J^M _q
Cte1 ' ^3 ' дхг дх3 X3 дх±
Интегрируя эти уравнения, получаем
M=ZP(*1, *4) + g(*i, + L (^3, Z4), (1)
где Р, Q, L — произвольные пока функции своих аргументов.
Для определения Р, Q и L воспользуемся уравнениями (А), полагая і, к = 1, 2, 3. Вычисление дает
__1_ / д2М д2М \ __ I-XR2
M \ дхI + ) ~ х§ 9
__1_ / д2М д2М \ _ 1— ХД2
M \ дх\ + &е§ / '
__1_ / a2 M д2М \ 2 і дМ
M \ дх2 + дх\ х3 M дх3
Вычитая первое уравнение этой системы из второго, получаем
д2Р __ d2Q дх\ дх\ *
Отсюда следует
P = U(Xik)X2i^ai (Xtk) Xi + bi (z4), 1
Q = п (Z4) X22 + а2 (z4) X2 + Ъ2 (z4). J
