Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИТЕРАТУРА
1. Oppenheimer J. R., Volkoff G. M., Phys. Rev., 55, 374 (1939) (см. данный сборник, стр. 337).
2. Tolman R. С., Ргос. Natl. Acad. Sei. USA, 20, 3 (1934). Е. М. ЛИФШИЦ
О ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА*
Произведено исследование гравитационной устойчивости нестационарной модели изотропного мира, даваемой общей теорией относительности. Показано, что произвольные малые возмущения гравитационного поля и распределения материи в расширяющемся мире либо затухают со временем, либо возрастают по такому медленному закону, что не могут служить центрами образования отдельных туманностей.
В предлагаемой работе произведено исследование устойчивости нестационарного мира общей теории относительности по отношению к произвольным малым возмущениям гравитационного поля и распределения материи в нем. Гравитационная неустойчивость обычно привлекается (см., например, [1]) к объяснению образования туманностей из первоначального однородного распределения материи. При этом предполагается, что случайно возникающие местные сгущения, в случае если они обладают достаточно большими размерами, имеют тенденцию к дальнейшему увеличению, становясь таким образом центрами образования туманностей. Критические размеры таких сгущений, при которых они становятся гравитационно неустойчивыми, определяются при этом, однако, из ньютоновской теории тяготения, между тем нет а priori никаких оснований для предположения, что тот же критерий будет справедливым и в общей теории относительности. Произведенное здесь исследование показывает, напротив, что в расширяющемся мире общей теории относительности возмущения большинства типов затухают со временем, не проявляя тенденции к самопроизвольному увеличению. Существуют, правда, и такие возмущения, которые возрастают со временем, однако это возрастание происходит по такому медленному закону (как небольшая степень радиуса мира), что вряд ли они могут служить центрами образования больших неоднородностей. Таким образом,
* Лифшиц Е. M., ЖЭТФ, 16, 587 (1946). о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 363
можно, по-видимому, считать, что указанный механизм не может служить источником распадения материи на отдельные туманности.
§ 1. ИСХОДНАЯ МОДЕЛЬ
Как известно, в предположении однородности и изотропности распределения материи в пространстве общая теория относительности приводит к двум нестационарным возможным моделям мира в которых пространство обладает соответственно положительной («закрытая модель») или отрицательной («открытая модель») постоянной кривизной. Астрономические данные свидетельствуют, по-видимому, в пользу открытой модели, которая поэтому представляет больший интерес. Мы будем, однако, из соображений математического удобства производить сначала вычисления, исходя из закрытой модели, имея в виду, что переход к открытой модели может быть непосредственно произведен в окончательных уравнениях.
Метрика мира с пространством положительной кривизны определяется, как известно, выражением для интервала:
dsfl = -с2 dfi + а (tf [dt + sin2 X (sin5* 0 dcp2 + ЙЄ2)],
где t — собственное время, X, 0, ф —«сферические» пространственные координаты, a (t) —«радиус кривизны» пространства (см., например, [2], § 102, 103); материя относительно этой системы отсчета покоится. Вместо времени t удобнее пользоваться переменной т|, определяемой соотношением
с dt: = a dr\. (1.1)
Тогда dsг запишется в виде
ds* = a2 (ri) [—dr]2 + dy? + sin? X (sin2 Є dq* + Щ]. (1.2) Символы Кристоффеля для этой метрики равны 2)
Ta т0 a ^ r? а' Г-0 Ta п
A?Y> 1 a? = J-Oa=-Oa, Ja0 = I00 = U,
Речь идет о решениях уравнений Эйнштейна без так называемого космологического члена, для введения которого нет в настоящее время никаких оснований.
2) Греческими буквами a, ?, у, . . . мы будем обозначать индексы, про-
бегающие значения 1, 2, 3, соответствующие пространственным координатам
X, Э, ф; временной координате я0 = г\ будет соответствовать индекс 0. Латин-
ские буквы і, к, Z, . . . обозначают индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3. 364 E. М. Лифшиц
где штрих (') означает дифференцирование по rj; компоненты T?Y нет необходимости выписывать в раскрытом виде, так как во всех дальнейших вычислениях можно обойтись без этого, используя непосредственно пространственную «сферическую» симметрию мира. Компоненты тензора Rik = Rlki равны
= (2а*+а'г+аа")&, (1.4)
Л? = О, ^ = -3^^1,
а скалярная кривизна R = R\ такова:
R = (а + а"). (1.5)
Тензор энергии-импульса материи есть
Т* = (р + р)щик + $р (1.6)
где иг — четырехмерный вектор скорости (с компонентами Ua = О, и0 = 1 /а), р — давление, р — плотность материи (в целях избежания множителей с2! последняя предполагается измеренной в энергетических единицах). Его компоненты равны
T^pbL Ta0 = 0, Tg=-р. (1.7)
Общие гравитационные уравнения
Ri —J 6iR = кТі (1.8)
(х — эйнштейновская гравитационная постоянная) приводят к уравнениям
= ^ (я2 + a'2), KP=-^r (а'2- 2аа"- а2)' (1-9)
Приведем также следующее отсюда выражение для производной dp I dp:
