Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
В случае Z-пинча предполагается, что приложенное напряжение мгновенно возрастает до своего пикового значения. Если считать, что плазма является идеальным проводником на таких масштабах времени, то возникающий в плазме ток течет в тонком слое у поверхности плазмы. На внешней стороне этого токового слоя создается магнитное поле B0. Магнитное поле внутри предполагается равным нулю. Удобно пренебречь кинетическим давлением плазмы внутри токовой оболочки во время сжатия. Это приближение обычно хорошо выполняется, так как В2/8п р вплоть до самого конца процесса схлопывания.
Магнитное давление снаружи плазмы действует так, чтобы ускорять массу плазмы, по мере того как токовая оболочка движется радиально к оси.
Запишем одножидкостные уравнения (3.5.8) в виде
¦|-pmV + V*VPmV+pMV.VV=i^.-Vp, (3.11.1) (3.11.2)
Согласно модели «снежного плуга», все частицы в тонкой оболочке движутся с одинаковой скоростью Vr (?). Полный ток в оболочке
OO
I = j Jz2nrdr.
о
Из (3.11.2) следует, что магнитное поле вне токовой оболочки
В=*.
ГС
Полная масса плазмы (на длине I) равна
M = Pm (O) тс (а2— R2) Z,
где R — радиус оболочки в момент t и а — начальный радиус при t = 0. Если радиус токовой оболочки равен R, то гидродинамическая скорость
VxB =
4 лЗ
108
ГЛАВА З
Xf отн. ед.
Фиг. 43. Зависимость безразмерного радиуса плазмы в динамическом пинче от относительного времени, показывающая сжатие плазмы или пинч-эффект (сплошная кривая)> Штриховые кривые иллюстрируют влияние давления нейтрального газа на сжатие плазмы.
(всюду вне оболочки V = 0) определяется следующим образом:
V = —
У dt ’
d / оч dR -TT Pm (R)
JrBi
ZdQ
dt Г™ VxV dt ~~ С '
Объем токовой оболочки равен 2nRl»AR, и поэтому pm (R) = MIобъем, a Jz= I/(2nRAR). Уравнение движения оболочки имеет вид
IB с
(3.11.3).
В модели «снежного плуга» уравнение движения токовой оболочки в безразмерных переменных в предположении линейного нарастания тока [/ (t) = (dl/dt)0t] записывается в виде
здесь используются безразмерные переменные
г Радиус
а Начальный радиус ’ t __ Время
ti Характерное время сжатия ’
тде t1 = [ac/(dI/dt)0\i/2MVlk, M0 = па2рт — полная масса на единицу длины плазмы в начале сжатия. Начальные условия таковы: я (0) = 1 и (dx/dx)0 = 0.
С этими начальными условиями уравнение (3.11.4) можно численна проинтегрировать и получить результат, представленный на фиг. 43. Радиус плазмы обращается в нуль при т = 1,5, и, следовательно, время сжатия составляет
(3.11.5)
Задача 3.11.1.. Проверьте, можно ли получить уравнение движения
(3.11.3) из динамики токовой оболочки (в рамках модели «снежного плуга») без использования уравнений гидродинамики.
Очевидно, что приближение, в котором пренебрегается кинетическим давлением плазмы, перестает выполняться вблизи конца схлопывания.
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЬЇ
409
Пренебрегая такими эффектами, как ударная волна, излучение, джоулев нагрев и ионизация, и принимая адиабатическое уравнение состояния одноатомного газа (рР/з— const), можно учесть давление в уравнении движения токовой оболочки, оставаясь в рамках модели «снежного плуга».
Таким образом, уравнение движения можно записать в виде
(3.11.6)
где a = 2p0?j/a2pm0 — безразмерная константа, определяемая начальным давлением внутри оболочки. Для этого уравнения начальными условиями являются х = 1 и dx/dx = 0 при т = ]/а, поскольку начальное давление задерживает начало сжатия до тех пор, пока правая часть (3.11.6) не изменит знак. На фиг. 43 приведены кривые для двух различных значений а. Этот грубый анализ опирается на несколько слабо обоснованных предположений, однако он показывает, что время схлопывания, предсказываемое для а = О, мало изменяется при учете кинетического давления плазмы. Итак, при a > О плазменный столб сжимается до некоторого минимального радиуса, причем давление в этот момент достигает максимального значения. Давление оказывается большим, чем в случае равновесного пинча с таким же током,1 поскольку наряду с магнитным давлением оно включает в себя кинетическую энергию, связанную с радиальным движением плазмы в процессе схлопывания г).
В настоящем изложении мы не касались вопроса об устойчивости. Описанный здесь быстрый пинч неустойчив по отношению к ряду возмущений. Устойчивость плазмы в пинчах рассматривается в гл. 4.
Задача 3.11.2. Пусть плотность тока J в равновесном пинче такова, как показано на фиг. 44, и пусть при г > Ъ плазма отсутствует. Найдите В (г) и р (г) во всем пространстве. Покажите, что если а Ь, то В2/8п при г = b совпадает с р при г = 0; если же а 0, то B2IAn при г = Ъ совпадает с р при г = 0.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ter HfLar D.j Elements of Statistical Mechanics, New York, 1954.
2. Thompson W. B., An Introductionto Plasma Physics, Addison-Wesley, Reading, Mass.,
1962, p. 227, 228.
3. Chapman S., Cowling T. G., The Mathematical Theory of Nonuniform Gases, 2nd ed., Cambridge, London, 1952 (см. перевод: C. Чепмен, Т. Дж. Каулипг, Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960).
