Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
-^L = V х [Vx В]. (3.9.5)
Задача 3.9.1. Покажите, что изменение магнитного поля В со временем в каждом элементе жидкости связано с изменением плотности этого элемента следующим уравнением:
где
AJL-JLvV
Dt р р V ’
^=i+v-v.
9.2. Волны малой амплитуды. Альфвеновские и ионно-звуковые волны
Волны — это широко распространенное неравновесное явление в плазме. Можно найти решения одножидкостных уравнений, соответствующие различным типам волн. Эти решения мы подробно рассмотрим в гл. 5. Здесь мы приведем несколько простых примеров в качестве еще одной иллюстрации магнитогидродинамических свойств плазмы. Одной из хорошо известных волн, распространяющихся в плазме, является альфвеновская волна. В 1942 г. Альфвен обнаружил, что в идеально проводящей несжимаемой жидкости, которая находится в сильном постоянном магнитном поле, может распространяться волна, причем роль упругой силы играет магнитное давление, а инерционные свойства определяются плотностью жидкости. Чтобы показать это, рассмотрим случай V eV = 0, р = 0, сг=оо и, кроме того, пренебрежем в законе Ома членами JxBh дЗldt. В результате получим
— 4д1ХВ ’ (ЗЛ)-6>
-^5- = (В .V) V — (V .V) В. (3.9.7)
При решении уравнений (3.9.6) и (3.9.7) предположим, что магнитное поле состоит из постоянной и однородной части B0 и малой осциллирующей части B1 (т. е. I B1 I <С I B0 |). Средняя скорость жидкости V0 = O, а возмущение скорости равно V1 .Пренебрегая членами, содержащими произведения
возмущенных величин, получаем следующие уравнения:
Pm~~1н~ = ~?п [V х В*1 хВ0’ (3.9.8)
-jf — (B0-V) V1. (3.9.9)
Для простоты примем, что ось z направлена вдоль постоянного магнитного поля. Одно из самосогласованных решений уравнений (3.9.8) и (3.9.9) содержит магнитное поле и скорость, которые имеют только х- и ^/-компоненты,
94
ГЛАВА З
не зависящие от я и у. В результате уравнения (3.9.8) и (3,9.9) принимают вид
8Vix.y _ B0 дВІХ'У
Pm Jt -UT Tt • (d.y.lU)
dBiXt v OVix, v
-ITl = bO-ZTl' <3-9Л1>
Преобразование этих уравнений дает волновое уравнение для какой-либо компоненты скорости или магнитного поля
<sw2>
гДе Уa — BJV4ярш. Решение волнового уравнения (3.9.12), которое можно записать в виде
Bix = Bsm (Jcz-Mt)9 (3.9.13)
описывает поперечную волну, распространяющуюся вдоль магнитного поля в несжимаемой проводящей жидкости с возмущениями магнитного поля, перпендикулярными B01 и со скоростью Va = со/к, не зависящей от частоты. Эта волна называется альфвеновской волной, а скорость волны — алъфвенов-ской скоростью, которая равна
(3.9.14)
Альфвеновские волны и их свойства подробно изучаются в гл. 4. Цель настоящего краткого анализа — показать, каким образом используются одножидкостные МГД-уравнения для описания неравновесных процессов. Примером проводящей несжимаемой жидкости является жидкая ртуть. Однако наличие альфвеновских волн характерно не только для несжимаемых жидкостей, но и для обычной плазмы (§ 10).
Задача 3.9.2. При получении решения, соответствующего альфвеновской волне, пренебрегалось как давлением, так и омическими потерями* хотя р 0 при T 0, а г] 0, когда Г оо. Определите диапазон частот, в котором можно пренебречь удельным сопротивлением Т] для плазмы, плотность и температура которой соответствуют ионосфере* Проверьте также правомерность пренебрежения давлением в той же области параметров, считая магнитное поле B0 равным магнитному полю Земли Вз.
Примером неравновесного явления, когда существенно давление плазмы* является ионно-звуковая волна. Если в однородную плазму, в которой отсутствуют внешние поля (E0 = B0 = Vp0 = V0 — 0), внести возмущение, допустим, слегка сжать ее, то это возмущение будет развиваться во времени, согласно предсказаниям одножидкостных уравнений. Как и в предыдущем случае, если возмущения предполагаются слабыми, можно пренебречь произведениями возмущающих величин. Тогда уравнения (3.7.1)-(3.7.6) принимают вид
Pm°' Qi =—Vpi, (3.9.15а)
д_
dt
Pmi= — PmoV-V1. (3.9.156)
Для простоты рассмотрим одномерные возмущения pml = Pwl (х), Vp = = dpldx, V1 = V1X. Чтобы решить уравнения (3.9.15), необходимо иметь уравнение состояния, иначе число уравнений (два) меньше числа неизвест-
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
ных (три). Запишем уравнение состояния в общем виде
P = ^ . (3.9.16}
PmO
в этом уравнении постоянная у еще не определена. То же уравнение для возмущенных величин имеет вид
Р1-ТР.?. (3.9.17)
Постоянная у должна определяться из посторонних соображений, не связанных с гидродинамическими уравнениями. Из (3.9.15) получаем уравнение
g2Pml YPo ^2Pml
Hi PmO дх*
Решением этого уравнения является волна сжатия
Pml = Pml sin (kx — wt),
(3.9.18)
распространяющаяся со скоростью
”. = (ту1/2 = (х УеТе+УіТі)1/2. (3.9.19>
В гл. 8 показано, что, если не выполнено условие Te Ti, волна (3.9.19) не распространяется вследствие сильного затухания Ландау. Постоянную Y можно найти, если принять во внимание, что при Te Ti волна (3.9.19) распространяется со скоростью, много меньшей тепловой скорости электронов, т. е.
