Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
91
родного тока Jzi требуемого для радиального удержания заряженной плазмы, состоящей из N электронов и RN ионов одинаковой температуры, равномерно распределенных в цилиндре радиусом а и длиной L (R < 1); б) могут ли электроны самоудерживаться при физически реальных плотностях тока Jzi если R = О?
Задача 3.8.5« Убедитесь в правильности уравнений (3.8.18) и (3.8*19).
8.4» Изотермическая атмосфера
Изотермическая атмосфера, рассмотренная в гл. 2 в качестве примера применения статистического подхода, может быть также изучена с помощью стационарных одножидкостных уравнений. Рассмотрим плазмул в которой имеется сила тяжести = — g в расчете на единицу массы. Уравнение движения для плазмы в стационарном состоянии имеет вид
VP = I^--Pmg (3.8.20)
а соответствующий закон Ома для плазмы в поле силы тяжести с учетом dpildx аписывается следующим образом:
E +U + (pmg + VPi). (3.8.21)
Если магнитное цоле В мало, а также если pi = p€ = pl2, то* исключая давление из (3.8.20) и (3.8.21), имеем
Е rIj +g (3.8.22)
В отсутствие токов на границе атмосферы электрическое поле определяется выражением*
^Емакс = -ф S • (3.8.23)
Это означает, что вертикальная составляющая электрического поля уменьшает среднюю силу, действующую на каждый ион, в два раза по сравнению с силой тяжести (т. е. ионы в плазменной атмосфере как бы легче, чем в атмосфере нейтрального газа) и тянет вниз каждый электрон с силой, которая тянет вниз ионы. Эта сила, тянущая вниз каждый электрон, значительно превосходит действующую на него силу тяжести (как если бы электрон был лишь в два раза легче иона) и равна т&12т
Задача 3.8,6. Проверьте уравнения (3.8.20) и (3.8.21) с точки зрения правильности учета силы тяжести в одножидкостных уравнениях.
Задача 3.8.7. Каково распределение плотности в изотермической атмосфере? Оправдано ли пренебрежение магнитным полем В в уравнении (3.8.21), если под В и подразумевать их значения для Земли?
§ 9. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ, ОПИСЫВАЕМОЙ ОДНОЖИДКОСТНОЙ И МГД-ТЕОРИЯМИ
Получить решения системы МГД-уравнений (3.7.1) — (3.7.6) совместно с уравнением состояния для плазмы, не находящейся в равновесии, вообще говоря, трудно. Однако эти уравнения можно решить в рамках принятых выше приближений, что позволяет описать многие свойства плазмы. Исполь-8уя уравнения Максвелла, можно выразить скорость жидкости через В
92
ГЛАВА З
и Vp:
л д\ [VX В] X В _
p^-IT =------4п-------------(3.9.1)
В этом уравнении не учитывается только ток смещения (1/с) (дЕIdt), что оправдано при Vl с2, и его вид не зависит от частоты столкновений. Второе уравнение, связывающее В и V, можно получить, взяв почленно ротор от уравнения, представляющего закон Ома, и исключив величину J с помощью преобразования VXJ = (с/4я) V X V X В. В результате, отбрасывая
члены JxBh OJIdt, а также замечая, что V X Vp = O, мы имеем
V2B —Jr В = В (V • V) — (В • V) V+ (V • V) В. (3.9.2)
4по v dt
Уравнение для электрического поля можно получить, продифференцировав по времени закон Ома и воспользовавшись уравнениями Максвелла
VXV X E = I-I-V х B=
с dt с2 dt 1
чтобы затем выразить г\3 через Е. В результате получаем следующее уравнение:
V2E-^^ = ^4^. (3.9.3)
Независимо от того, как мы выбрали уравнение состояния, первые два уравнения (3.9.1) и (3.9.2) образуют систему совместных уравнений для магнитного поля и скорости жидкости.
9.1. Диффузия магнитного поля и вмороженность силовых линий
Простым примером применения гидродинамических уравнений для исследования неравновесных процессов служит диффузионное проникновение магнитного поля в покоящуюся (V = 0) плазму. Это задача аналогична задаче о вихревых токах в электродинамике, за исключением того, что проводящей средой здесь является жидкость, а не жесткий проводник. Время диффузии магнитного поля превосходит любые характерные времена, которые можно ожидать в ситуациях, когда магнитное поле удерживает плазму или перемещает ее как целое. Например, внутри Земли, Солнца или в межзвездной материи движение магнитных силовых линий может описываться диффузионным уравнением.
Уравнение диффузии магнитного поля [согласно (3.9.2)] записывается следующим образом:
V2B-i^~|?- = 0. (3.9.4)
Решения этого уравнения имеют вид
В ~ е-*/Тт;
здесь тт = 4UgL2Ic2 (L — характерный масштаб изменения магнитного поля в проводнике). Для земной коры Tm « IO4 лет; для медного шара диаметром 1 м Tm « 10 с. Вводя характерные скорость плазмы V0 и масштаб градиентов L, уравнепие (3.9.2) можно записать, как это часто делается,, в безразмерных переменных:
дв
1
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
93
где tn = tV0IL, Vn = VlV0, Vn = ?v, а величина Rм = AnoLV0Ic2-магнитное число Рейнольдса. Если Rm мало, то поле свободно проскальзывает через плазму. В случае бесконечной проводимости (йм -> °°) магнитное поле не диффундирует в среде. Силовые линии «вморожены» в жидкую среду и движутся вместе с жидкостью. Напомним, что это утверждение ограничено приближениями, сделанными при упрощении закона Ома. Уравнение, описывающее временную эволюцию магнитного поля В в случае вмороженных силовых линий, имеет вид
