Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Баланс кинетического и магнитного давлений в плазме возможен на временах, меньших времени диффузии магнитного поля в плазму. Состояние плазмы, при которой имеет место такой баланс, называется равновесным пинчем. Для описания равновесного пинча можно использовать стационарные одножидкостные МГД-уравнения.
Рассмотрим плазменный цилиндр, показанный на фиг. 33. Радиус цилиндра г = а, и никаких полей в нем, кроме созданных самой плазмой, нет-
Фиг. 33. Схема токонесущего плазменного столба, иллюстрирующая пинч-эффект в плазме-
Tok в плазме J создает магнитное поле B0, компенсирующее давление плазмы пхТ. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости фигуры к читателю (0) и от читателя (®).
1J Гидромагнитное равновесие пинчей подробно освещено в обзоре В. Д. Шафранова [14*].— Прим. ред.
а) Альтернативными терминами являются соответственно нескинированный и ски-нированный пинчи.— Прим. ред.
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
Внутри плазмы течет ток с однородной плотностью J = J2Z при г < а и, разумеется, / = O при г >> а.
Если плазма достигает стационарного состояния, одножидкостные уравнения (3.7.1) — (3.7.4) для этого случая цилиндрической симметрии
принимают вид
T4F rPmVr = Ot (3.8.9)
-llT- = IF, (3.8.10)
= E6 = 0, Et = IiJtt (3.8.11)
пе dr 9 d
г dr
1±(гВв) = Jt. (3.8.12)
В уравнении (3.8.11) сохранен член (IpiIdr, опущенный в упрощенном одножидкостном уравнении (3.7.3). Дело в том, что ъ линейном пинче градиент кинетического давления ионов может не быть малым по сравнению с Er. Важно отметить для последующего изложения, что общая динамика линейного пинча не зависит от уравнений (3.8.11) (см., однако, обсуждение в п. 8.4, когда величина dpIdx играет существенную роль).
Заметим, что для определения поля В и давления р через (заданный по предположению) аксиальный ток J2 требуются лишь два уравнения: (3.8.10 ) и (3.8.12). Решая эти уравнения, можно найти распределение давления и радиус равновесного пинча, не зависящие от Vr, Er и т. д. Единственным ограничением, наложенным на решения, является азимутальная симметрия (д/д§) (В, У, ру . . .) = 0. Поскольку J2 — const, нетрудно проинтегрировать уравнение (3.8.12) и получить магнитное поле
2зх г _ г < а
Вв = { л2 ^ ’ (3.8.13)
г>а,
{Z5T |-
— Jzr,
2л_ j # с z г *
а интегрируя (3.8.10), находим распределение давления
( (az~г2), г<.а,
Р(г) = | (3.8.14)
[0, г>а.
Последние два выражения описывают равновесный пинч и показывают, что радиус такой плазмы определяется давлением на оси (стремящимся увеличить а) и током (создающим поле Bq, которое стремится уменьшить а), причем радиус равновесного пинча записывается в виде
« = ]/•C2P (г-0)^ (3 8Л5)
Следует заметить, что преобразование (на основании того, что Bq/г = Const при г а)
Bq т ___ Bq ( с d rp \ I ^ р2
----rJz---------Г I гВв) = ~ 4^"5г е
приводит к условию баланса давлений в пинче
ГЛАВА З
которое к тому же совпадает с общим условием равновесия
, B2 \ (B-V)B
у(^+ізг)=-4їг-*
поскольку B-VB= —г (BlIr) для азимутального поля В = Bq (г) 0. Задача 3.8.2. Докажите, что
R.VR
B-VB =------
если поле Bq создается током с постоянной ПЛОТНОСТЬЮ J = JzZ.
Полное давление на оси р(0) = пекТе /1*хГ*, а полный ток I = JzTta2 выражается через полное число электронов или ионов N на единицу длины {в случае Ti = Te) следующим образом:
P=(INeTtT) с2ла29
1/2 1/2 (3.8.17)
/ [А] = 5,7• KtiJV ^ T [кэВ].
Равновесное состояние, удовлетворяющее уравнениям (3.8.13)—(3.8.15)t/ допускает еще некоторый произвол в определении параметров, поскольку ив этих уравнений нельзя найти радиальное электрическое поле, скорость жидкости или распределение плотности (определено только произведение пкТ). Эти свободные параметры определяются не условиями равновесия пинча, а историей создания плазмы.
Так, если предположить, что ток в основном переносится электронами (J = —YieVe), то изменение плотности плазмы с радиусом, согласно уравнению (3.8.14), должно сопровождаться изменением с радиусом либо плотности тока, либо средней скорости электронов. В разобранном выше примере предполагалось, что J = const, но в зависимости от способа создания тока более правдоподобным может оказаться условие Ve = const, Te = Const7T7i = const. В этом случае из уравнений (3.8.10) и (3.8.12) следует
I d г dn _ 4л e2Vln /о Q 4Ъ\
г dr п dr “ ?2 H(Te + Tt) • 13.0.IOJ
Решение этого дифференциального уравнения с граничным условием dnldr — О при г = О имеет вид
n(r)= (3.8.19)
здесь
,__ я e2F| п (O)
Т"Т2“ K(Te+Ti)%
Следует заметить еще раз, что при выводе мы предположили T = const. Известно, что гидродинамические уравнения необходимо замыкать с помощью некоторого предположения о виде уравнения состояния. В данном случае условие T = const заменяет уравнение состояния.
Задача 3.8.3. Какой величины ток требуется для удержания плазмы, имеющей температуру 10 кэВ, диаметр 1 см и плотность IO14 см-3?
Задача 3.8.4. По плазменному цилиндру радиусом а течет ток вдоль оси с постоянной плотностью Jz. Если плазма нейтральна, она будет удерживаться в радиальном направлении (dn/dt = 0, Vr = 0) током Jz = (da) YP (O)Izt Ip (0) — полное давление плазмы на оси]. Пользуясь аналогичными соображениями, определите: а) плотность одно-
