Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 3.7.1. Прочтите статью [5J в качестве введения и обзора работ по магнитогидродинамике с конечным ларморовским радиусом.
§ 8 j СВОЙСТВА ПЛАЗМЫв описываемой одножидкостной И МГД-ТЕОРИЯМИ
Многие свойства плазмы поддаются простому описанию с помощью одножидкостных уравнений.
8.1. Изобарические поверхности
Для плазмы в стационарном состоянии уравнение движения (3.7#2) принимает вид
iT^-VP, (3.8.1)
причем в стационарном состоянии производные по времени и недиагональные элементы тензора давления равны нулю. Из последнего уравнения следует,
что направления как тока, так и магнитного поля перпендикулярны гра-
диенту давления:
B • Vp = Oj
T „ л (З-8-2)
J .ур =s 0. 47
Это означает, что поверхности постоянного давления совпадают с магнитными поверхностями, т. е. могут быть составлены из магнитных силовых линий. Ни одна из магнитных силовых линий не пересекает изобарическую поверхность, и плазма не стремится расшириться вдоль магнитного поля. Следует заметить, что утверждение о совпадении изобарической поверхности с магнитной не означает, что величина B2 постоянна на этой поверхности, а говорит лишь о том, что силовые линии ее не пересекают. Действительно, поскольку в стационарном состоянии (в силу уравнения VXB= 4пЗ/с)
JxB [V X BI X В m I 1 Г» «П /О О 04
-----------Ш-----" V&r+4TB,VB* (3-8-3)
должно)» выполняться соотношение
V-I--T--VP, (3.8.4)
т. е. n X [VB2/8ji — (B-V) В/4л] =* О (здесь п — нормаль к изобарической поверхности). Если силовые линии где-либо являются прямыми, например В = Bz, то в силу уравнения V-B=O изобарическая поверхность должна быть также поверхностью постоянного магнитного давления B2 = const Это утверждение не верно, если силовые линии изогнуты.
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
87
Фиг. 32. Возникновение среднего тока в плазме с градиентом давления. Показано, что тон не связан с переносом частиц. 0 магнитное поле направлено к читателю, перпендикулярно плоскости фигуры.
Переписав' уравнение (3.8.1) в виде
Jl —nsr2-* (3-8-5)
мы видим, что в одножидкостной модели, которая предполагает зарядовую нейтральность, никакие токи не могут течь поперек магнитного поля в плазме, пока в ней отсутствует градиент давления 1).
Полезно заметить, что наличие тока не обязательно связано с переносом частиц поперек магнитного поля. Электрическое поле и градиент магнитного поля вызывают дрейф частиц, но градиент давления не может вызвать дрейфа частиц. Ток J1 в (3.8.5) возникает не из-за движения отдельных частиц, а из-за градиента плотности (или скорости) частиц, вращающихся в магнитном поле. Как показано на фиг. 32, ток Jy вызван тем, что в каждой данной точке х больше частиц движется влево, чем вправо, хотя каждая отдельная частица вращается вокруг неподвижного центра и в действительности в среднем совсем не смещается влево.
Задача 3.8.1, Ток, определяемый выражением (3.8.5), приводит к возникновению градиента магнитного поля, который действительно вызывает дрейф частиц со скоростью vD [см. (1.7.4) и приложение I]. Покажите, что Vr мала по сравнению со скоростью Ve = Jfney если
P = пкТ/(В218п) < 1.
Если плазма находится в электрическом поле, то даже при постоянном давлении и равном нулю токе имеется поток массы, так как закон Ома (3.7.3) в стационарной бестоковой плазме постоянного давления дает
Е + -^—«0. (3.8.6)
После векторного умножения (3,8.6) на В получим
Vl = -^c. (3.8.7)
Наоборот, движение плазмы поперек магнитного поля приводит к возникновению электрического поля, перпендикулярного векторам У и В. Это может быть использовано для преобразования кинетической энергии потока плазмы в электрическую энергию (глв 6).
х) Конфигурации плазмы в которых отсутствует градиент1 давления, а токи текут вдоль магнитных силовых |линий, называют бессиловыми.— Прим. ред.
88
ГЛАВА З
8.2. Магнитное давление
Если в плазме имеется градиент давления, то в условиях статического равновесия должен существовать и градиент магнитного давления. Исключая J так же, как это было сделано в (3.8.3), получаем соотношение между градиентом магнитного поля и градиентом давления в виде
/ . Я2 \ B-VB
V [p^ 8я ) ~ 4я •
Если силовые линии магнитного поля — параллельные прямые, то это соотношение сводится к простому уравнению баланса давлений:
^(р + ж)=0- (3-8-8>
Отсюда ясно видно, что магнитное поле оказывает давление на плазму; величина В2/8п называется магнитным давлением. Однако любые системы, для которых справедливо соотношение (3.8.8), не могут быть статическими. Из закона Ома следует, что при наличии столкновений в плазме (т. е. конечной проводимости) градиент магнитного поля В будет изменяться со временем за счет диффузии магнитного поля в плазму. Условие о оо называют пределом бесконечной проводимости•
8.3. Самоудержание. Равновесный пинч *)
Простым примером плазмы, находящейся в равновесии, является пинчг в котором токи, текущие в плазме, создают магнитное давление, которое в свою очередь удерживает плазму. Пинч-эффект впервые изучался Беннетом [6] в связи с проблемой самофокусировки сгустка быстрых электронов, выбрасываемых при солнечной вспышке, в разреженную межпланетную плазму. Пинч-эффект имеет место, когда магнитное давление B2ISn превышает кинетическое давление пкТ. Возможны два режима: 1) магнитное поле успевает диффундировать в плазму и 2) граница плазмы не пропускает магнитного поля и движется так, чтобы кинетическое давление плазмы возрастало. Первый из них называется диффузией магнитного поля, а второй — динамическим пинч-эффектом 2). Резистивную диффузию мы рассмотрим в следующем параграфе.