Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
{3.4.1) — (3.4.5), которые описывают поведение электронов и ионов по отдельности.
Из уравнения (3.4.1) нетрудно получить уравнения непрерывности для массовой и зарядовой плотностей. Умножение (3.4.1) на та и сложение уравнений для электронов и ионов дают
Jfip-+ V-PmVn= О, (3.5.6)
а умножение (3.4.1) на qa и последующее сложение уравнений дают
4-P* + V-J=0. (3.5.7)
Аналогично сложение уравнений (3.4.2) для электронов и ионов дает уравнение движения в одножидкостной модели (см. задачу 3.5.1)
Pm-|-V+ pm (V.V) V = P9E + ^--V-P. (3.5.8)
Задача 3.5.1. Выведите уравнение (3.5.8). Обратите внимание на то, что:
1. SPaМ’= Рї здесь тензор Pa*1' определен в с. ц.м.жидкости согласно
a
выражению (3.5.4).
2. Столкновительный член обращается в нуль в силу закона сохранения импульса, если только нет нейтральных частиц, т. е. если плазма полностью ионизована.
3. Наиболее просто можно вывести уравнение (3.5.8), если начать с уравнения (3.3.6), а затем использовать уравнение непрерывности (3.5.6) для массовой плотности в одножидкостной модели.
Задача 3.5.2. Как выглядят аналоги уравнений (3.5.8) и (3.5.9) в слабо-ионизованном газе? Предположите, что более плотный нейтральный фон покоится, а электронно-ионная жидкость описывается одножидкостной моделью.
Как выглядят аналоги уравнений (3.5.8) и (3.5.9) для ионизованного газа, в котором относительно небольшое число нейтралов увлекается электронно-ионной жидкостью? Сначала запишите систему двухжидкостных уравнений (пусть одна жидкость состоит из нейтралов, другая — из электронов и ионов). Затем запишите системы одножидкостных уравнений для плазмы, состоящей из электронов, ионов и нейтралов.
Четвертое уравнение для переменных одножидкостной модели получается путем умножения уравнения движения (3.4.2) на qa, деления на та и сложения уравнений для цонов и электронов [суммирование уравнений (3.4.2) по сортам зарядов дает уравнения для d (рwV)/cft; цель теперь
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
81
состоит в том, чтобы получить уравнение для diIdt]. Искомое уравнение для плазмы, состоящей из ионов и электронов, имеет вид
+V-(VJ+JV-Wpg)= (2E +(——і——) pmt^x5.1. —
dt 1 v rq/ \ та ) \ тес 1 TYiiC / +
а
/ enij ете \ JxB______е_ /рц. м. Ше___рЦ. м. \ I
\ Ctne cmi / me + mi те Vі mI *)
+ 2 \чаПаУ^Ж~ dy' (3.5.9)
Ot столк
а
Это уравнение называется обобщенным законом Ома для плазмы, поскольку оно связывает ток с напряженностью электрического поля. Столкновитель-ный член, т. е. (OJIdt) I столк, часто вычисляется в линейном приближении:
r dta d\»-vJ, (3.5.10)
v
dt
столк
где V — средняя частота столкновений. Удельное сопротивление г| и электропроводность о выражаются через v следующим образом:
(3-5-11)
При этом уравнение (3.5.9) сводится к закону Ома, т. е. E= rjJ при B = Ob статическом случае при постоянном давлении.
Уравнения (3.5.6) — (3.5.10) образуют систему уравнений для переменных одножидкостной модели, однако, разумеется, эта система также не замкнута, т. е. неизвестных больше, чем уравнений. Замкнуть систему не удается и при добавлении уравнений для более высоких моментов функции распределения, следующих из кинетического уравнения (3.1.14), поскольку каждое новое уравнение содержит дополнительную неизвестную переменную. Замыкание системы уравнений (3.5.6) — (3.5.10) достигается в общем случае использованием какого-либо уравнения состояния, как и в системе (3.4.7)—
(3.4.9). Иногда выбор определенного уравнения состояния вполне оправдан, В любом случае выбор того или иного уравнения состояния сильно влияет на результаты, следующие из гидродинамических уравнений, и он не может быть сделан произвольным образом.
§ 6. ОСНОВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ОДНОЖИДКОСТНОЙ ТЕОРИИ
Даже после выбора какого-либо уравнения состояния уравнения одножидкостной теории имеют довольно громоздкий вйд. Практически пользуются более простыми уравнениями, которые получаются после ряда допущений, справедливых для широкого круга явлений. Так как эти допущения ограничивают область применимости уравнений, важно выяснить характер ограничений, прежде чем записать уравнения одножидкостной модели плазмы в их обычно используемом виде. Рассмотрим по порядку эти допущения. Начнем с условия квазинейтральности
Pge=iPgi* (3.6.1)
Предположение о равенстве нулю плотности зарядов (рд == 0) приводит к значительному упрощению. Однако, поскольку плотность зарядов в действительности не равна нулю, предположение пе = Zni является приближением и ведет к потере информации. Ho так как плазма в целом нейтральна (Ne = ZN і), должен существовать масштаб, на котором выполняется условие квазинейтральности (3.6.1). Этот масштаб представляет собой дебаевский
82
ГЛАВА З
радиус экранирования: покоящийся избыточный заряд экранируется зарядом, равным по величине и противоположным по знаку, на расстоянии Xd. Следовательно, при изучении медленных движений элементов жидкости с размерами, большими дебаевского радиуса, можно считать, что пе Jiiy т. е.
