Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
т (4r + V,vV)+eE+!^r5 = 0’ (3.9.27)
а также уравнения непрерывности (3.4.1) для электронов
+ y»V = 0 (3.9.28)
и уравнений Максвелла с гег = 0:
V-E=-4яеге, (3.9.29)
VXB=-^nV. (3.9.30)
В приведенных уравнениях мы опустили индексы, считая все величины относящимися к электронам. Используя эти уравнения, можно исследовать систему, схематически показанную на фиг. 39. В цилиндрических координатах г, 0 и z написанные выше уравнения имеют вид
^ —^ + (V- V) Vr = - ^ Er -(OcF0, (3.9.31)
-?2- ++(V-V) F9= --^ + CDcFr, (3.9.32)
+ T -^Ee=-Anen, (3.9.33)
здесь (ос == еВ/тс — циклотронная частота. Можно получить стационарное Ipldt 0) решение этих уравнений, не зависящее от угла (д/д0 0), при
Фиг. 39. Облако электронов, вращающееся как твердое тело в однородном аксиальном
магнитном поле.
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
101
Фиг. 40. Зависимость угловой скорости нескомпенсированного однородного облака электронов, вращающегося в однородном магнитном поле как твердое тело, от плотности
зарядов.
Верхняя ветвь соответствует быстрой, или циклотронной, моде, нижняя — медленной, или дрейфовой, моде.
постоянной плотности (п = const). В случае постоянной плотности радиальное электрическое поле
Er = —2 ппег. (3.9.34)
Постоянство Bz (OBJdt = 0) означает, что Eq = 0 и поэтому уравнение (3.9.32) удовлетворяется при Vr = 0. Исходя из этих предположений, уравнение (3.9.31) можно записать следующим образом:
ІІ4-^?!г_<оеув = о. (3.9.35)
Решение этого квадратного уравнения имеет вид
± (1¦ <з'9'зв> где COp = (4Zine2Imyf2 — плазменная частота. Отсюда мы видим, что имеются два равновесных решения, соответствующих вращению плазмы как целого. Эти решения приведены на фиг. 40.
При низких плотностях (со^/сос <С 0,5) одно равновесие соответствует вращению с частотой, почти совпадающей с циклотронной, другое — вращению с низкой угловой частотой. Для обоих равновесных решений соблюдается баланс центробежных и электростатических сил, направленных от оси, и силы Лоренца, направленной к оси. При сор = со§/2 оба решения сливаются в одно с угловой частотой вращения сос/2. Это равновесное решение (о)р S= (Ос/2) называется бриллюэновским потоком. Оно соответствует минимальному магнитному полю, которое обеспечивает равновесный поток электронов заданной плотности. Равновесное решение не является самосогласованным, поскольку оно не удовлетворяет уравнению (3.9.30), т. е. электронные токи генерируют магнитное поле, которое в свою очередь должно менять распределение плотности по радиусу. Это диамагнитное поле пренебрежимо мало, если электростатическая энергия плазмы много меньше плотности энергии, связанной с массой покоя, E2/8zi ^nm0C21 что как раз выполняется для нерелятивистских электронных пучков, часто используемых в лаборатории. В настоящее время осуществлено несколько экспериментов,
102
ГЛАВА З
в которых изучались равновесие и устойчивость заряженной плазмы. В одном из этих экспериментов [10] создавалась заряженная электронная плазма в форме кольца с плотностью IO11 см-3, со средней энергией 0,5 МэВ в импульсном поле пробкотрона величиной 15 кГс. Захваченная плазма сохранялась в течение времени более 15 мс. Описанные выше эффекты играют важную роль также в других экспериментах, в которых изучаются сильно-точные (170 кА) короткоимпульсные электронные пучки высокой энергии (14 МэВ) с целью развития методов коллективного ускорения.
§ 10. ТЕОРИЯ ЧУ - ГОЛДБЕРГЕРА - ЛОУ
Одножидкостные МГД-уравнения вместе с уравнениями Максвелла и соответствующим предположением с целью замыкания цепочки уравнений для моментов функции распределения правильно описывают свойства невязкой идеально проводящей квазинейтральной плазмы в магнитном поле, если столкновения в плазме достаточно часты, чтобы поддерживать ее изотропность, и если характерные частоты много меньше ионной циклотронной частоты.
Если же магнитное поле велико, а столкновения редки, предположение об изотропности не выполняется и свойства плазмы вдоль и поперек магнитного поля оказываются различными. Чу, Голдбергер и Лоу [11] предположили, что тепловой поток вдоль магнитного поля пренебрежимо мал и разложили уравнение Власова по степеням IAB, чтобы получить систему уравнений для макроскопических переменных одножидкостной теории, справедливую в тех случаях, когда фазовая скорость возмущений в плазме больше средней тепловой скорости частиц плазмы, т. е. соIk vT. Полная система уравнений,
описывающая плазму в рамках этой модели, записывается следующим
образом:
Уравнение непрерывности
-|-Р,п+V-PmV-O. (3.10.1)
Уравнение движения
P"*(4r+v-vv) = -‘v-p+ir^- <зл0-2)
У равнения Максвелла
VxE=-If-. (З.І0.3)
VXB = ^J. (3.10.4)
Закон Ома (в предположении сг оо)
Е+^®- = 0. (3.10.5)
В теории Чу — Голдбергера — Лоу (ЧГЛ) давление предполагается локально-изотропным в плоскости, перпендикулярной магнитному полю; давление в направлении локального магнитного поля может иметь независимое значение р и. Другими словами, в системе координат с осью z, напра-
