Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
10 \ 1/2 / Ше \ 1/2 ^ \ 1/2
Таким образом, за один период волны о"1 тепловой электрон проходит расстояние (TTiiZme)1Z2Ar1, которое много больше длины волны. Это означает, что электронная температура должна быть постоянной в пределах многих длин волн, т. е. процесс изотермический, а для изотермического сжатия уе = 1. Волна с законом дисперсии
ш=к]/’^-кС, (3.9.20)
называется ионно-звуковой волной, а величина C6 — скоростью ионнозвуковой волны.
9.3. Несжимаемость как свойство плазмы
В качестве дополнительного условия при рассмотрении альфвеновской волны использовалось уравнение VeV = 0, причем было сделано утверждение, что это уравнение справедливо для несжимаемой жидкости. Хотя и существуют проводящие несжимаемые жидкости (например, жидкая ртуть), трудно допустить, что плазма является несжимаемой. Действительно, если бы при выводе ионно-звуковой волны использовалось условие VeV = 0, эта волна отсутствовала бы [из (3.9.156) следовало бы dpmlldt = 0, из (3.9.17) мы имели бы P1 = 0, а из (3.9.15а) — V1 = 0]. У читателя может возникнуть вопрос, какое отношение к поведению плазмы имеет альфвеновская волна в несжимаемой жидкости. Дело в том, что, во-первых, альфвеновские волны действительно распространяются в плавме и свойства их в точности описываются уравнениями (3.9.12)—(3.9.14) и, во-вторых, условие VeV = 0, при котором рассмотрение сильно упрощается, справедливо для многих типов возмущений в плазме. Суть дела не в том, что плазма несжимаема, а скорее
*96
ГЛАВА З
в том, что существуют возмущения, которые не меняют плотности плазмы. Поэтому упрощения, сделанные при выводе альфвеновской волны, справедливы Даже в (сжимаемой) плазме при возмущениях
которые не связаны с изменением плотности плазмы. В этом случае Vlx (z) порождает возмущение электрического поля Ey (z), согласно закону Ома (член V X B2). Электрическое поле в свою очередь, согласно уравнению VxE=— (He) (OBIdt), порождает магнитное поле Blx (z) и ток Jly = = (с/Ап) VxB. Уравнение движения связывает силу J1 х zB0 с изменением импульса рOVlxIdt. Таким образом, возмущение Vlx (z) не вызывает движения со скоростью Vlz (z) и уравнение VeV = O является согласованным. Следует отметить, что при выводе ионно-звуковой волны возмущение былр выбрано в виде V1 = Vr1 (я) х, а вычисление привело к волне сжатия. При выводе альфвеновской волны вместо использования уравнения VeV = O можно было бы выбрать возмущение в виде V1 = V1 (z) х, что привело бы к тому же ответу. Итак, утверждение, что плазма несжимаема, т. е. VeV = 0, которое часто встречается в теоретических работах, в действительности есть краткий способ отразить нечто значительно более сложное.
9.4. Солитоны и ударные волны ионно-звукового типа г)
Ионно-звуковая волна служит отправной точкой в теории бесстолкнови-тельных ударных волн в отсутствие магнитного поля; эта теория показывает, к чему приг дит учет членов, отброшенных в упрощенных одножидкостных уравнениях (3.7.1) — (3.7.6), а именно (V-V)V и (пе — Пі)Іпе.
Рассмотрим однородную плазму в отсутствие внешних полей (E0 = = B0 = VPo = V0 = O), состоящую из горячих электронов и холодных ионов. Пусть в ней произошло возмущение плотности. Тогда двухжидкостные уравнения, описывающие развитие возмущения [возмущение предполагается одномерным, т. е. все величины зависят только от одной координаты х,-возмущенная скорость, соответствующая ионно-звуковой волне, направлена также по х, т. е. V1 = F1 (х) х], имеют вид
Если принять приближения Tbe-Yii и (V-V) V = O, эти уравнения сводятся к одножидкостным уравнениям, которые имеют решения F1, P1^sin k (x—Cst). Если положить Tte= Tii, но не считать (V*V) V =^= 0, решение уравнений (3.9.21)-(3.9.23) соответствует волне вида sin к (х, t) (х — Cst), профиль которой укручается до тех пор, пока градиенты P1 и F1 не обратятся за конечное время В бесконечность, после чего профили P1 (х) и F1 (х) становятся двузначными [8], как показано на фиг. 34, и решение уравнений (3.9.21)—
(3.9.23) в виде волны далее не существует. Это явление называется опрокидыванием волны.
Задача 3.9.3. Методом последовательных приближений покажите, что
член (V-V) V приводит к увеличению градиентов со временем.
Vix = Vlx(Z) Pi = 0,
дпі, е і ^nU eVl* в _п dt "1^ дх '
(3.9.21)
ЯТ7. п. _ Ят 4 /)п.
(3.9.22)
¦jJ-= —4я е(щ — пв).
(3.9.23)
1J Исчерпывающее исследование этого и других типов ударных волн приведено в книге [7].
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
97
Pmt
SbOyrUrLt^tp
Задача 3.9.4. Покажите, что линеаризованные двухжидкостные уравнения предсказывают при Ti = 0 существование ионнозвуковых волн с частотой со =
= кС8 (1 + &*м*)-1/2.
Если отказаться от ограничения пе = Ui, то, как мы покажем ниже, для волны малой амплитуды укруче-ние профиля в конце концов урав' новешивается дисперсией. У кручение профиля волны связано с тем, что благодаря нелинейным членам в волновом уравнении наряду с исходной волной (к, со) возникают высшие гармоники (2/с, 2(d). Если более высокие гармоники распространяются со скоростью основной волны, связь между гармониками сильная. Появление более коротких длин волн и означает укру чение профиля. Если более высокие гармоники распространяются медленнее (или быстрее), чем основная волна, связь ослабевает и укручение прекращается. В случае ионно-звуковых волн, когда их длина волны приближается к значению дебаевского радиуса, на распространение волны влияет разделение зарядов (пе ф Tii), причем более короткие волны распространяются медленнее *). Это называется дисперсией. Ниже мы покажем, что конкуренция между укручением и дисперсией приводит к решению, в котором P1 и F1 постоянны в системе координат, движущейся со скоростью U ~ Cs.
