Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение движения электронов (3.9.22) вследствие малости их массы можно записать в приближенном виде
Фиг. 34. Профили возмущения плотности для двух различных моментов времени.
Видно, как ударная волна становится «двузначной» перед «опрокидыванием».
о = еПв^—^
дх
дх
(3.9.24)
Приближение Te = const, как отмечалось выше, справедливо, поскольку электроны движутся быстро по сравнению с ионными волнами. В таком случае решение уравнения (3.9.24) имеет вид
пе — п0ес(р/к:Ге.
Динамика ионов описывается следующими уравнениями:
dVt
dt
дп[
A-V • —-L=___________—
* дх mi дх ’
'-UiVl = О,
dt 1 дх
= — 4ле (щ — п0ее(Р/кТе).
(3.9.25)
Задача 3.9.5. В случае уравнений (3.9.25) предположение о том, что пе = Hi и <р = 0, теперь не приводит к ионно-звуковым волнам. Почему?
Если в системе координат, движущейся со скоростью С/, достигается стационарное состояние, все величины должны быть функциями от \ — х— Ut.
х) Тот факт, что это происходит на масштабе длины L ^ Xjy, не должен вызывать удивления [см., например, обсуждение после (3.5.1)]; для ионных волн явная зависимость о)//с от длины волны будет вычислена в гл. 8.
98
ГЛАВА З
Это приводит сразу же к стационарному уравнению для (р:
д2<Р _ / "о
? =JC-Ut
Фиг. 35. Зависимость амплитуды солитона от расстояния в системе координат, относительно которой волна находится в покое.
¦ 2ец> ImiU2
(3.9.26)
Для малых ец)ЫТе данное уравнение имеет решение в виде волны, амплитуда которой в зависимости от расстояния приведена на фиг. 35. Эта волна, распространяющаяся через плазму, имеет конечную амплитуду. Она называется солитпоном. Существуют аналогичные волны, соответствующие другим типам плазменных волн с дисперсией о = kV.
Решение уравнения (3.9.26) в виде волны, показанной на фиг. 35, можна получить разными способами. Например, если под ф понимать «координату» частицы, уравнение (3.9.26) запишется в форме
dV (ф) __ d2ф
dy
dl*
что соответствует уравнению движения --------------
(? — «время») частицы в потенциальной ду_
яме. ду>~
Задача 3.9.6. Покажите, разложив уравнение (3.9.26) для малых ф, что его решение ф = фмакс ch"? (?/Д). Най-дите I и выразите Д и U через амплитуду волны фмакс при малых ф.
Задача 3.9.7. Покажите, что из (3.9.26) непосредственно следует
/
V(Cf)
у) =TJii Uz/Ze
а
U
\ 2Jfni )
1/2
(ееЧ>т/кТе_ ефт/хГе)1/2 *
(Указание: dcp/d^ = 0 при ф = фт.)
На фиг. 36 приведены графики V (ф) при различных значениях скорости С/. «Частица» начинает двигаться при ф = 0, и решение имеет такой же вид, как показано на фиг. 35, если
Скорость U растет с увеличением амплитуды солитона фмакс (см. задачу 3.9.6, а также фиг. 36 или задачу 3.9.7), причем эта волна не существует, если амплитуда слишком велика. В действительности физическая ситуация предопределяет либо
Фиг. 36. Потенциал V (ф) при различных значениях скорости U. Решение получено: а — при U2 < кГ^/т.; б — при 2ybQKTe/mi > U2 > KTeIm в— при U2 > 2,56хТ®/гМ|
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
99
Фиг. 37. Зависимость амплитуды бесстолкновительной ударной волны от расстояния.
С/, либо фмакс* Соотношение U = YKTeIrrii о/И определяет число Маха Из фиг. 36 видно, что решение отсутствует при qJK < 1 и ©$^>1,6. Если учесть влияние редких столкновений или отражения ионов высокой энергии Ei ж от потенциального барьера ф, симметрия решения нарушится и оно будет иметь вид, показанный на фиг. 37. (Представьте себе ф как затухающие осцилляции в потенциальной яме.)
Рассмотренное изменение состояния плазмы, происходящее на расстоянии A,d, в то время как А,Столк называется бесстолкновительной ударной
волной. При вхождении солнечного ветра в земную магнитосферу он пре-
Лесстолкновителъный
Фиг. 38. Схематическое представление эффектов вторжения солнечного ветра в магнитное поле Земли (показана область головного скачка).
Магнитопауза (устойчивость М-слоя, отсутствие желобковой неустойчивости, аномальная диффуаия); бесстолкновительный скачок (диссипация в скачке, нелинейное нарастание волн, стохастическое ускорение, двухпотоковая неустойчивость, область применимости МГД-теории); переходная область (турбулентность плазмы, неравновесные явления); геомагнитный шлейф (устойчивость к пинчеванию, пере-соединение силовых линий); магнитосфера (неустойчивости: конусная, анизотропного распределения по скоростям, желобковая, двухпотоковая; ускорение, диффувия, удержание).
100
ГЛАВА З
вращается из холодного потока с одним направлением движения частиц в горячую плазму с хаотическим направлением их движения на расстоянии X, которое много меньше средней длины свободного пробега частиц по отношению к столкновениям. Переходный слой, показанный на фиг. 38, называется головным скачком. Головной скачок у Земли [9] обладает свойствами, которые связаны с описанными здесь явлениями.
9.5. Заряженная плазма. Электронный газ, удерживаемый магнитным полем
Система, в которой даже для определения равновесных свойств необходимо учитывать член (У-V) V и то, что пе Ф Tii,— это заряженный электронный газ. Электронейтральность пе - Ui предполагалась с целью упрощения математических выкладок в одножидкостной модели плазмы. Однако плазма может состоять из зарядов одного знака. Равновесные свойства электронного газа в однородном постоянном магнитном поле можно продемонстрировать с помощью уравнения движения (3.4.2) для электронов без учета градиента давления и столкновений: