Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
вленной вдоль магнитного поля B0 в данной точке х0, тензор давления имеет вид
"Px 0 о -
P= 0 Pl 0
0 0 Pu.
(3.10.6)
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
103
В общем случае магнитное поле искривлено, и ни в какой фиксированной лабораторной системе отсчета В не совпадает с какой-либо координатной осью. В произвольной системе отсчета тензор давления (3.10.6) преобразуется к виду
здесь Ь = В/1 В I — единичный вектор вдоль направления магнитного поля. Тензор (3.10.7) можно записать также следующим образом:
здесь I — единичный тензор. Для искривленного поля b = Ь (х), поэтому величина V *Р содержит информацию не только об изменении р± и рц от точки к точке, но также и об изменении направления магнитного поля (единичного вектора Ь) от точки к точке.
Если магнитное поле однородно и направлено почти вдоль прямой, т. е. В = B0 + B1 (х), как это имеет место в случае волн малой амплитуды, распространяющихся в сильном магнитном поле, то VeP упрощается за счет линеаризации по B1. Например, если B0 = B0z, мы имеем
v’p = [i Р± + ЖІр* -p^b*}*+[^ P±+-k(Pi-P^b«]i +
4- [-^ (Pu — Px) (Pu — Pi.) Ъу-\--^ Pl + •jj (РIl —Pj.) г . (3.10.8)
При рассмотрении давления любая гидродинамическая теория сталкивается с двумя проблемами. Во-первых, это вопрос об изотропности и возможности замены VeP на Vp- Именно здесь МГД-теория наиболее сильно расходится с теорией ЧГЛ. Во-вторых, опять-таки необходимо выбрать уравнение состояния для связи р и р, чтобы число неизвестных не превышало числа уравнений. В теории ЧГЛ требуются два уравнения состояния — одно для Pll а другое для рц. В случае адиабатических процессов в бесстолкнови-тельном газе, который является изотропным в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, и в котором отсутствует связь между продольным и поперечным движениями (см. задачу 3.10.2), имеет место следующее уравнение состояния:
Второе уравнение, связывающее р±, р\\ и рт, выводится при рассмотрении динамики отдельных заряженных частиц, находящихся в магнитном поле, которое медленно меняется в пространстве и времени. В приложении I показано, что магнитный моменту = mv\l2B почти равен интегралу движения. Это позволяет (поскольку V21 ж P1/Pm) использовать уравнение
"Pj. + (Pii — Р±)ЬХЪХ (Pu — Рх)М» (PiI-Pi)Mz
P= (Рі — Pj.)Ъфх Р± + {Р\\—РА.)ЪуЪу (ри —Px)ЪуЪг ; (3.10.7)
_(Р||— Px) Mx (Р\\—Р±)Ь2Ьу Р± + (Р\\ — p±)bzbz_
P = Pxl + (Pu — Px) ьь,
Задача 3.10.1. Покажите, что в общем случае
(V-P)x = VxPx - (Pu - Px) (b-V) Ь
И
(V-P)n = (Ь-V) PU + (PU - Px) v-b.
const.
(3.10.9)
(3.10.10)
в качестве второго «уравнения состояния», необходимого для замыкания уравнений теории ЧГЛ.
104
ГЛАВА З
Задача 3.10.2. Покажите, что, если в идеальном бесстолкновительном газе движение в плоскости (_|_) происходит независимо от движения в третьем направлении ( || ), адиабатическое уравнение состояния имеет вид р\р и = const.
Используя снова уравнение J X ВIc = [у X В] X В/4я, чтобы исключить ток из (3.10.2), и уравнение VxE=— (1 /с) (OBIdt), чтобы исключить Е, а также используя результаты задачи 3.10.1, можно получить следующую систему уравнений, обычно называемую теорией ЧГЛ (или дважды адиабатической теорией):
включающую уравнения (3.10.9) и (3.10.10) в качестве уравнений состояния*
Поскольку движение плазмы поперек магнитного поля в некотором смысле не связано с движением вдоль него, теория ЧГЛ является вполне подходящей для описания такого рода эффектов.
Из одножидкостных МГД-уравнений мы получили низкочастотные (альфвеновские) волны. Теория ЧГЛ позволяет дать более подробное описание свойств этих волн, что служит хорошим примером эффективности приближения с использованием двух адиабатических уравнений состояния. При этом метод исследования полностью совпадает с методом, примененным при анализе одножидкостных МГД-уравнений. Все величины, за исключением скорости, представляются в виде суммы стационарного значения и небольшого волнового возмущения, зависящего от времени:
Все уравнения линеаризуются в пренебрежении произведением возмущенных величин. Считая B0 = B0z, в результате получаем дисперсионное уравнение (квадратное относительно со2) с корнями
± I [¦?“¦ + Pl (I + sin2 9) — 4рц cos2 oj2 s^n2 9 cos2 б|1/2 j , (3.10.12)
где 0 — угол между направлениями распространения волны и магнитного поля (ось z).
При распространении волны вдоль магнитного поля (0 = 0) из (3.10.12) получаем два решения
Pm("?r+V'vV) II +vII^II +(Pj--Pi)(^)i, =0’
^ + V-PmV=O,
V= V1 ехр [і (к *х—<о?)],
Рт = Рто + РтіЄХр [І (к-X — (О*)], Pl = PlO + PU еХР [І (к-Х — (Of)], Pll = Pu 0 + />111 ехр [г (к.X-(Of)],
В = B0 + B1 ехр [і (к • х—(Oi)].
k2 /В2 . \
(3.10.13)
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
105
И
(3.10.14)
Первое решение описывает гидродинамические волны в редкой плазме, находящейся в сильном магнитном поле. Если pL = рц, то соотношение (3.10.13) сводится к закону дисперсии альфвеновской волны, рассмотренному в § 9 при анализе МГД-уравнений. Если р± ?= P \\, скорость альфвеновской волны изменяется. В случае рц > р± + B2IAn возникает новое явление: со2 отрицательно, т. е. возмущение экспоненциально возрастает или затухает со временем: B1 ~ ехр (±со^), где со* = Im (со). Альфвеновская волна разбивается на две ветви, одна из которых затухает со временем, а другая нарастает. Из этого рассмотрения следует, что гидродинамические волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля, неустойчивы в том смысле, что небольшое возмущение B1 около стационарного значения B0 нарастает со временем. Эта неустойчивость, называемая шланговой неустойчивостью, представляет собой лишь один из многих примеров (подробно рассмотренных в гл. 5 и 9) того, как плазма может релаксировать из состояния, не являющегося термодинамически равновесным, за времена, меньшие времени между столкновениями.
