Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
112
ГЛАВА 4
полей определяются диэлектрическими свойствами плазмы, которые в свою очередь зависят от значений постоянного магнитного и электрического полей в плазме. Плазма может быть неоднородной и анизотропной, что существенно сказывается на ее диэлектрических свойствах.
Диэлектрическая проницаемость холодной плазмы может быть вычислена с помощью гидродинамических уравнений, выведенных в гл. 3. Предполагая, что возмущенные значения (считаем их малыми) полей и токов имеют гармоническую зависимость от времени в виде
из линеаризованных гидродинамических уравнений можно установить связь плотности зарядов и токов в плазме с электрическим и магнитным полями в ней. Это позволяет записать уравнения Максвелла следующим образом:
Здесь 8 — тензор диэлектрической проницаемости. Решение этих уравнений для заданной величины є, определяемой в условиях равновесия плазмы, позволяет найти нормальные колебания или волны при этих условиях равновесия.
С помощью двухжидкостных уравнений (3.4.1)—(3.4.4) можно вычислить тензор диэлектрической проницаемости холодной плазмы. В простом случае, когда в стационарном состоянии внешние поля и средняя по времени скорость частиц равны нулю, гидродинамические уравнения имеют решения относительно малых отклонений от стационарного состояния:
В этом случае линеаризованные (в пренебрежении членами типа V1B1 и т. д.) двухжидкостные уравнения записываются следующим образом:
У равнение непрерывности
E1= Ехе~ш, B1= B1^iwt,
(4.1.1)
V-B1 = O, V-Є -E1 = O.
Па = Па0 + Hai (х) Є~Ш
Va=Vai(x)e-i(0t, E= E1 (х) е~ш, B= B1 (х)е~ш.
(4.1.2)
^l + V -^aVa = о =$—tonai + na0 V-Val = O. (4.1.3)
Уравнение движения
Уравнение Максвелла
a
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
113
С помощью (4.1.4) можно выразить Vccl через E1 и записать (4.1.5) в виде
VxB,= -^[l-“>(1+^/mi)]E„ (4.1.6)
где сор s 4ппсе2/те, a qt = Ze — заряд иона. В рассматриваемом случае плазмы в отсутствие внешних полей диэлектрическая проницаемость является скаляром
ем «1-І (4.1.7)
(здесь мы пренебрегаем величиной ZmeImi по сравнению с единицей).
Из (4.1.6), используя VXE 1==(ш/с) B1, получаем уравнение
VXVXE1 = -^-(I-If)E1, (4.1.8)
которое определяет волновые свойства холодной плазмы в отсутствие полей.
Основным предположением, сделанным при выводе уравнения (4.1.8), было приближение холодной плазмы. Это приближение оправдано, если выполняется неравенство
(4.1.9)
где /с-1 = |(1/Z?) dE/dx I'1 — характерная длина, на которой изменяются поля; другими словами, приближение холодной плазмы означает, что тепловые
скорости частиц настолько малы, что частицы не успевают сместиться на рас-
стояние порядка длины волны за один период. Поскольку диэлектрическая проницаемость обращается в нуль при
CO = COp Y1+-?2-. (4.1.10)
плазменная частота есть резонансная частота плазмыг и электростатические колебания (V X V X E1 = 0) на этой частоте представляют собой собственные колебания. Следует обратить внимание на то, что не существует отдельного резонанса на ионной плазменной частоте (Opi =У~АкUe2Imi; инерция ионов до некоторой степени проявляется в эффективном уменьшении массы, входящей в выражение для (ор. (В случае горячей плазмы учет Mpi при вычислении 8 приведет, разумеется, к резонансу на частоте со = кСs, соответствующей ионно-звуковым волнам [см. (3.9.14) и далее].)
Решения уравнения (4.1.8), соответствующие волнам в плазме, мы рассмотрим в следующих параграфах.
Задача 4.1.1. Покажите, что в уравнение (4.1.6) действительно должно входить отношение ZmeImi.
Задача 4.1.2. Можно ли вывести уравнения (4.1.6)-(4.1.8) из одножидкостных уравнений (3.7.1)-(3.7.4)? Попробуйте их вывести или сразу покажите, что это невозможно. Положите Z = 1.
§ 2. ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение (4.1.8), полученное из гидродинамических уравнений холодной плазмы, описывает эволюцию во времени и пространстве небольших
электрических полей в плазме. Его фурье-преобразование \ exp (—ik*x) dx
V
У-Те уу <*> m„ к '
114
ГЛАВА 4
дает уравнение для фурье-компоненты E = J exp (—ik-x) Ё (х) dx:
-к х k X Ё = ? (I -? Ё. (4.2.1)
Выбрав систему координат так, что k = Zcz (выбор системы координат не ведет к потери общности рассмотрения), уравнение (4.2.1) можно записать в матричной форме:
(CO2 — CO^ — /C2C2 О 0 \(Ех\
О (O2-W2p- Ic2C2 О И Ey I = 0 (4.2.2)
О О 0)2-(4 )\Ёг)
Очевидно, что это уравнение имеет три решения. Два из них, которые мы рассмотрим в § 5, соответствуют электромагнитным волнам. Третье решение для каждой моды с данным к имеет вид
Ex = Ey = О,
Ez = Ez ехр (ikz— иot)у (4.2.3)
CO2 — COp .
Это решение соответствует электромеханическим колебаниям с плазменной частотой. Такие колебания фигурируют под разными названиями: ленгмюровские колебания, плазменные колебания или волны пространственного заряда — три одинаково часто встречающихся термина. He забывая о том, что проведенное вычисление основано на приближении холодной плазмы, полезно перечислить свойства этих колебаний.
