Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
здесь We — энергия, усредненная по периоду колебаний (волна электростатическая, т. е. V-SE1 = 0, V X E1 = 0), а Е\ — среднее по периоду значе-
ВОЛНЫ B ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
119
ние Е\ (если E1 = E0 sin со?, то Е\ = 1/2 Е\). В случае линейно-поляризованной однородной плоской волны соответствующее выражение для энергии имеет вид
Тяг д ( к2с2 \ Е\ // о л л\
(4-ЗЛ1>
<(при выводе этой формулы было учтено, что VeE1 = 0, т. е. волна чисто поперечная).
Для того чтобы применить это представление к волнам, распространяющимся в движущейся плазме, следует заметить, что если с помощью (4.3.5) выразить Ti1 и V1 через E19 а также использовать J1 = — (KoeV1 + TixeV ^j9 то диэлектрическую проницаемость плазмы в пределе высоких частот (поскольку мы воспользовались приближением ПОКОЯЩИХСЯ ИОНОВ TTli оо) и больших длин волн (поскольку мы воспользовались приближением холодной плазмы) можно записать в виде ©2
Є = 1---------(высокочастотная диэлектрическая проницае- (4.3.12)
(со KVq) мость холодной плазмы, движущейся со скоростью Vr0).
помощью этого выражения можно получить как положительно-, так и отрицательно-энергетическую ветви волны пространственного заряда в движущейся плазме.
Задача 4.3.1. Используя выражение (4.3.10), укажите на фиг. 47 волны с положительной и отрицательной энергиями.
3.2. Волны с положительной и отрицательной энергиями в движущейся плазме
Для непосредственного доказательства того, что одна из волн, распространяющихся в движущейся плазме, обладает отрицательной кинетической энергией, полезно вывести закон сохранения энергии для этих волн.
Закон сохранения энергии для волн пространственного зяряда и электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла
V X E1 =-1?. (4.3.13)
И
V X B1 =^ + 1-?!-. (4.3.14)
Умножая скалярно слева уравнение (4.3.13) на B1, а (4.3.14) на E1, вычитая из первого уравнения второе и используя тождество
-A-V X В + B-V X А = V-IA х В],
получаем уравнение
-V--ST Iе* X = + (-g-+^-). (4.3.15)
Величина P = с [E1 X B1IMk, называемая вектором Пойнтинга, есть поток
энергии (эрг/см2 -с) распространяющейся волны. Величины We = Е\!8п
и Wm = В\/8к представляют собой зависящие от времени плотности энергии электрического и магнитного полей, связанных с распространяющимися волновыми возмущениями. Член E1-J1 определяет скорость, с которой электроны отбирают энергию от поля. Если ограничить движение электронов одним направлением по оси z (например, приложив сильное магнитное поле
120
ГЛАВА 4
і?2), то член E1 eJ1 можно выразить через поток и плотность кинетической энергии, связанной с возмущениями, распространяющимися в движущейся плазме или электронном пучке. Из (4.3.2) имеем
E.-J
= [/„ + ^ (VaiF1J1.) - FtllF1,^]. (4.3.16)
Используя выражение для возмущенной плотности тока
JlZ = ? {УOz^i “Ь n0VJ2) ,
можно переписать (4.3.16) следующим образом:
Е, • J1 - т. [А ( *&-) + F0A -?!- і(lr„y „ /и) + K„Fu »L].
Это уравнение можно записать в виде
E l.3l = J-PK + ±WK, (4.3.17)
где
WK = me[1^-+ V0zVlzUl) (4.3.18)
— плотность кинетической энергии возмущения, а
Pic=-^V0zVuJiz (4.3.19)
— поток кинетической энергии вдоль оси Z1 связанный с распространением возмущения [ср. (4.3.19) и (4.3.9)]. Воспользовавшись этим определением, уравнение (4.3.15) можно переписать в виде
У-(Р + Рк) + -|-(^Е+^м + ^к) = 0. (4.3.20)
В одномерной задаче, когда ни одна из величин не зависит от поперечной координаты, закон сохранения энергии сводится к уравнению
+4г (w*+w*>=°. (4-з-21>
так как возмущения магнитного поля отсутствуют. Для возмущенных величин Elzi Vlz и W1, гармонически зависящих от времени, т. е. вида Ti1 = = U1 exp (ik-x —i(s)t), средние по времени значения потока кинетической энергии, плотности кинетической и электрической энергий равны
Pk = TRe [mrV0zVu{n0V\z + Vozn\)],
Wk = 4- Re [т (+ VozUlVb) ] , (4.3.22>
(звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины). У равнение (4.3.20) справедливо для пучков с конечным поперечным сечением при условии, что электроны движутся в одном направлении — по оси z. Поток элек-
тромагнитной энергии обычно пренебрежимо мал по сравнению с потоком кинетической энергии, а плотность энергии магнитного поля обычно мала по сравнению с плотностью энергии электрического поля.
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
121
Используя дисперсионное уравнение для волн пространственного заряда (4.3.6), можно записать величины (4.3.22) в виде
(верхний знак относится к быстрым, а нижний — к медленным волнам пространственного заряда). Из этих уравнений видно, что среднее по времени значение потока кинетической энергии равно произведению дрейфовой скорости на сумму средних по времени значений плотности кинетической и электрической энергий, запасенных в плазме, т. е.
Очевидно, что у медленной волны пространственного заряда в движущейся плазме или электронном пучке средний по времени поток кинетической
это означает, что полная энергия движущихся электронов уменьшается, когда в пучке возбуждается медленная волна пространственного заряда.
