Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 4.3.2. а) Покажите, что кинетическая энергия, связанная с быстрой волной пространственного заряда, положительна при со > сор.
б) Найдите частоту, начиная с которой кинетическая энергия, связанная с быстрой волной, становится отрицательной.
в) Определите частоту, начиная с которой полная (электрическая плюс кинетическая) энергия становится отрицательной.
Задача 4.3.3. Если одномерный поток плазмы пересекает близко расположенные друг к другу сетки, между которыми приложено синусоидальное напряжение, в плазме возбуждаются и распространяются одновременно быстрая и медленная волны пространственного заряда. Линейная комбинация решений, соответствующих быстрой и медленной волнам, удовлетворяет уравпению (4.3.5), поэтому за возбуждающими сетками
между сетками), налагая граничные условия на возмущение скорости и плотности зарядов при Z = 0. Покажите, что при таком способе возбуждения происходит «бунчировка», т. е. плотность зарядов имеет максимумы, расположенные периодически за сетками. Определите расстояние до первого максимума. Объясните полученный результат на языке траекторий электронов.
(4.3.23)
Pk = V*(Wk+We).
(4.3.24)
энергии P к и средняя плотность энергии W к + We отрицательны. Все
здесь Af та. A s ’— амплитуды быстрой и медленной волн пространственного заряда. Найдите Af и A s при условии соLlV0 I (L — расстояние
§ 4. ВОЛНЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА В ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЕ
Вычисления, проделанные в предыдущих двух параграфах, показали, что в покоящейся холодной плазме могут существовать нераспространяю-щиеся колебания с частотой, равной плазменной частоте, и что эти колебания
122
ГЛАВА 4
распространяются, когда плазма движется с постоянной скоростью. Естественно возникает вопрос: каковы свойства этих мод, если электроны обладают тепловым разбросом по скоростям? Полного анализа этой проблемы невозможно провести, оставаясь в рамках гидродинамики, до тех пор, пока мы не установим вида функции р (п) (уравнения состояния). Для этого необходимо использовать уравнение Власова (гл. 8). Ho даже и после выбора уравнения «состояния явления, связанные с особенностями функции распределения по скоростям, такие, как затухание Ландау, разумеется, ускользают при гидродинамическом рассмотрении. Тем не менее некоторые общие свойства волн пространственного заряда можно установить с помощью уравнений гидродинамики.
Рассмотрим опять однородную покоящуюся плазму без внешних полей, но предположим теперь, что электроны обладают конечной температурой. Чтобы замкнуть уравнения гидродинамики, следует предположить, что давление изотропно и связано с плотностью уравнением состояния (для электронов) pipv = const. Уравнения непрерывности для возмущений плотности и скорости в случае ионов и электронов имеют вид
а уравнения движения для возмущенных величин с учетом давления электронов (поскольку P1 = PoYPmi/Pmo* Pm = пт) записываются следующим образом:
Уравнение Пуассона служит третьим соотношением между Ti1, V1 и E1I
Исключая скорости Vll и Vel из (4.4.1) и (4.4.2), подставляя затем nix и пе1 в (4.4.3), получаем уравнение (р = пкТ)
в котором величина у еще не определена. Например, разумно было бы выбрать 7 = 3 для одномерного адиабатического сжатия (высокие частоты) или Y=I для изотермических процессов (низкие частоты). Из (4.4.4) следует, что эффективная диэлектрическая проницаемость плазмы, состоящей из горячих электронов и холодных ионов, имеет вид
Используя вместо уравнения Пуассона уравнения (4.4.1), (4.4.2) и уравнение Максвелла
Скалярное умножение последнего уравнения на к дает (4.4.4), т. е. уравнение для электростатической волны (B1 = 0). Кроме того, уравнение (4.4.6) содержит электромагнитные волны (k-E1 =0) (§5 настоящей главы).
mnix — m0k-Vil = 0, Шпе1 — in0 к. Vpl = 0,
(4.4.1)
~ toVfl - ITi Е‘»
— io)Vel =----------— Ei
ше
ikypp Uei п0тпе п0
(4.4.2)
Ik-E1= —4пе (nei — Jiil).
(4.4.3)
(4.4.4)
(4.4.5)
получаем
VxB1=-^eE1.
(4.4.6)
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
123
Решения уравнения 8 = 0 имеют две особенности, связанные с учетом давления. Первая из них связана с тем, что возникает поправка к частоте колебаний со = (Ор. Частота колебаний теперь записывается в виде
со2 = Це+ ?2 (4.4.7)
IILq
здесь MbI пренебрегли величиной TYleImi по сравнению с единицей.
В горячей плазме ленгмюровские колебания обладают дисперсией (со зависит нелинейным образом от волнового вектора) и распространяются с групповой скоростью
__ 5(0 _ укТР _______к_______
гр — ~~ me I/(OjS, + WyxTeJm^ ’
Постоянная у должна быть определена либо из физических соображений, либо непосредственно из решения уравнения Власова. Поскольку вычисления проводятся для установления потіравок к теории холодной плазмы, разумно предположить, что электроны смещаются меньше чем на длину волны за один период 2ясо-1, и сжатие поэтому должно быть адиабатическим. В случае одномерного адиабатического сжатия значение у = 3. Таким образом, дисперсионное уравнение (4.4.6) принимает вид
