Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
в центре Земли. Тогда уравнение (2.9.2) запишется в виде
_ 1 Ґ dx' exp (— I х — Xr I Ad) ^ t
J |x — x'l Ix> I ’
a
I
здесь tKjya = 4nnaqalyiTa. Поскольку теперь x^>R3^XD, существенный вклад в подынтегральное выражение дает лишь небольшая область объема жХЪ вблизи точки х. Таким образом, напряженность электрического поля
Электрическое поле в плазме, находящейся в поле силы тяжести, возникает благодаря разделению зарядов. Если в плазме пе = Tii, поле E направлено от Земли. Дело в том, что ионы благодаря своей большей массе опускаются сильнее, образуя положительный заряд возле Земли. У поверхности Землц напряженность электрического поля равна
Примеры, приведенные выше (плазменный конденсатор, потенциал пробного заряда, плазма в поле силы тяжести), поучительны, однако все результаты можно было бы получить, рассматривая плазму как покоящуюся жидкость с плотностью заряда п {х). Статистическая теория нам была нужна только для того, чтобы выяснить, в каком приближении можно пренебречь корреляциями в плазме.
Плазма обладает свойствами, которые не имеют аналога в гидродинамической модели: одним из примеров служит кулоновская энергия плазмы. Это корреляционное явление. Если бы равные числа электронов и ионов были распределены равномерно, они не обладали бы кулоновской энергией, так как для удаления частицы плазмы на бесконечность из такой нейтральной некоррелированной плазмы не требовалось бы никакой энергии. (В подобной системе любой электрон находился бы в среднем на таком же расстоянии от другого электрона, как и от иона.) В действительности, однако, даже в нейтральной плазме каждый электрон находится в среднем ближе к притягивающему его иону, чем к отталкивающему электрону (корреляция), и поэтому необходимо затратить энергию для того, чтобы удалить электрон из эффективной потенциальной ямы. Кулоновская энергия (коллективная энергия плазмы) будет отрицательной. Этот результат приведет, например* к изменению энергии ионизации нейтральных атомов в плазме.
Чтобы вычислить энергию, необходимую для разрушения плазмы, выберем опять какую-либо частицу плазмы в качестве пробного заряда qT в точке х=0. Потенциал вблизи этого заряда
Чтобы удалить частицу/, расположенную в точке Xj, из поля действия этого потенциала, необходимо затратить энергию
(2.9.4)
CL
§ 10. КУЛОНОВСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПЛАЗМЫ
xJ
68
ГЛАВА 2
Условная вероятность нахождения частицы j в точке Xj при условии, что в точке X = 0 находится заряд qT, имеет вид (как следует из задачи 2.8.1)
Л:MO) = (1 -T- (2.10.1)
Задача 2.10.1. Проверьте, что вклад в кулоновскую энергию от области с размерами порядка е2ЫТ мал и что выражение (2.10.1) «почти» правильно нормировано. (Обратите внимание на то, что j Pc (X1 | а:2) ^2
AV
для любого объема AV.)
Энергия, необходимая для удаления частицы j на бесконечность из поля действия потенциала пробного заряда и усредненная по возможным положениям пробного заряда, равна
OO
Wcj = дйт j Pc (Xj 10) dxj j (-pL- e-R/b) dR. (2.10.2)
XJ
Поскольку интегралы в (2.10.2) сходятся при ^ = 0 и поскольку объем области [Гд ^ (А,в/тЛЬ)8], в которой точный вид P12 не известен, много меньше объема области взаимодействия ХЬ, мы с хорошей точностью можем расширить область интегрирования, включив в нее точку х = 0. Интегралы берутся непосредственно, и мы получаем
ш QjQT (Arr 7 2 ^nqjqr \ 4 / Qj \ \ /о лп Q\
Wc,= — [*a*> (2.10.3)
В качестве частицы /, удаляемой из поля частицы qT, можно было бы взять любую из N частиц, и любую из N частиц можно было бы выбрать в качестве пробной. Поэтому полная кулоновская энергия и кулоновская энергия единицы объема нейтральной плазмы имеют вид
Wc = Энергия -= T 4я 2 S 7vY^Y-J- (1-----„7,316л") ’ (2-Ю-4)
а V
= Плотность энергии =----7ГГ-- (2.10.5)
V zad
(множитель 1/2 возник потому, что каждая частица учитывалась дважды); здесь п0 = NIV и сумма берется по ионам и электронам. Заметим, что при H1 = пб основной вклад в (2.10.4) исчезает при суммировании по ионам и электронам, а остающаяся часть кулоновской энергии Wc есть корреляционная энергия. По сравнению с первым второй член мал (порядка 1/гсА|)), но не исчезает при суммировании. Кулоновская энергия плазмы с большим избытком зарядов какого-либо одного сорта положительна, в то время как энергия нейтральной плазмы отрицательна.
Снова мы видим, что отношение электростатической энергии к тепловой в нейтральной плазме равно параметру неидеальности:
П0кТ
Хотя в области взаимодействия находится много частиц, энергия кулонов-<ского взаимодействия мала по сравнению с кинетической энергией частиц.
Задача 2.10.2. Вычислите (или напишите) кулоновскую энергию для системы с Kd д2/хГ, например, для системы без экранировки.
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ 69
Задача 2.10.3. При какой плотности плазмы ион Н~, помещенный в плазму с термодинамической температурой IO5 эВ, начинает распадаться?
§11. ОБСУЖДЕНИЕ
Плазма как в лабораторных, так и в природных условиях редко находится в равновесном состоянии. Тем не менее приведенное здесь рассмотрение теории равновесной статистической механики для описания свойств дает определенную информацию в том смысле, что вскрывает некоторые свойства плазмы, которые отражаются на всем ее поведении. Во-первых, тот факт, что физика плазмы представляет собой одну из проблем многих тел с дально-действующими силами взаимодействия, отчетливо проявляется в задаче
