Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
« =TiHexp (-jCT-) ~ 1I
и полный поляризационный заряд
qp = (?-) dR=-qT.
О
В качестве пробного заряда qT можно теперь рассмотреть одну из частиц плазмы. Проведенное вычисление показывает, что каждая частица плазмы окружена дебаевским облаком радиуса Xd с зарядом, равным по величине и противоположным по знаку заряду частицы. Плазму можно представлять себе как набор таких «одетых» пробных частиц.
Задача 2.8.2. Прочтите работу Фримена и Бука [5] и обсудите, как им удалось учесть ближайшее окружение и получить формулу
Pi2= - l + exp ( + -?- -^[l-exp ( --?)]. (2.8.4)
Разберитесь, чем фактически отличаются друг от друга выражения
(2.3.7), (2.8.3) и (2.8.4).
Задача 2.8.3. Распределение в (2.8.1) неправильно нормировано, поскольку пробный заряд не был включен в статистическую сумму. Оцените связанную с этим ошибку.
х) Это утверждение не совсем точное. Для разноименных зарядов на малых расстояниях выражение (2.8.3) экспоненциально велико.— Прим. рёд.
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ 65
§ 9. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛАЗМЫ
Зная зависимость па от <р, можно замкнуть уравнения равновесия и полу-чить следующую систему незацепляющихся уравнений равновесного состояния:
V24Wh = — 4пРвнеш — 4п S qana (х),
а
Фполн = <Ф> 4 Фвнеш, (2.9.1)
па(х) = паехP (— ?а((р>+утш+и/ ) .
Величина W может означать потенциальную энергию частиц, находящихся, например, в поле силы тяжести. При получении этой системы уравнений предполагалось, что I) Ji1H2 = U1Tt2 и 2) плазма находится в термодинамическом равновесии.
Существует множество простых задач, которые можно решить с помощью уравнений (2.9.1), но только с использованием дальнейших упрощений. При любом способе построения теории плазмы встречаются одни и те же трудности. С двумя из них мы уже столкнулись, а именно:
1. Уравнения зацепляются [в результате мы имеем цепочку уравнений типа (2.3.2)].
2. Уравнения нелинейные (каждое звено в цепочке нелинейное).
В системе уравнений (2.9.1) удалось справиться с первой трудностью теории, устремив P1 2 0. Вторая трудность (нелинейность) преодолевается
посредством приближения слабой связи путем разложения по потенциалу взаимодействия, так же как и в случае пробного заряда, а именно
ехл I___*2L\ ~1
ЄХР \ У.Т ) ~ 1 у.Т + ‘ ‘ *
При этом получаем
у2ф = — 4ярвнеш— 4я 2 9а«ао (l —^----------• (2.9.2)
а
Если плазма нейтральна, т. е. = 0, то линейное уравнение (2.9.2)
a
в ряде случаев может быть решено. Характерным масштабом длины в уравнении (2.9.2) опять является
^ / 8Tiq2TiQ \ - 1/2
1d==\ -яг-) •
9.1. Плазменный конденсатор
Рассмотрим плазму во внешнем электрическом поле (фиг. 29). Внутри плазмы рВНеш = 0» потенциалы других сил W отсутствуют. Кроме того, будем предполагать, что число электронов в плазме равно числу ионов. Тогда решение
уравнения (2.9.2) с ф = фр + ф0 имебт вид
ф = Ле*/ят) + 5е_хДо.
Выберем х = 0в средней плоскости; тогда из сооб- А
ражений симметрии следует, что ф (х = 0) = 0, представление Именного
откуда имеем A = —В. Учтя граничное условие конденсатора.
X=-R
9=-<Ро
66
ГЛАВА 2
у1 I <р\ у- -% 1
~т т» -R / ° * * о / ? х
--Vo
Фиг. ЗО. Распределение потенци- Фиг. 31. Распределение потенциала в
ала в плазменном конденсаторе плазменном конденсаторе при R ^ ^D-
при R < A,D.
Ф (X -- R) = ф0, получаем решение в виде
Jc ___ ~ x/^D
(2.0.3)
Если пластины конденсатора расположены близко одна от другой (R ^d),
то потенциал равен (фиг. 30)
= Фо •
В этом пределе экранирование отсутствует.
Если пластины находятся далеко друг от друга (R ^d), то
Фл»ьв = Фо---------------•
Є U
В последнем случае потенциал очень мал всюду, кроме точек х -- ±R-Действительно, в остальных точках ф ^ ф0е"к%), что мало (фиг. 31), когда
R Последовательно, в бесстолкновительиую плазму (в отсутствие корреляций) внешнее поле проникает лишь на глубину порядка дебаевского радиуса от границы плазмы. Если же электрическое поле, приложенное к плазме большого объема, вызывает равномерное по всему объему падение потенциала или течение тока, внутри системы обязательно должны существовать какие-либо корреляции (столкновения) или другие неравновесные процессы (неустойчивость, турбулентность). Такая способность плазмы экранировать внешние потенциалы в отсутствие нетепловых флуктуаций иногда используется для диагностики. Если электрическое поле проникает в бесстолкнови-тельную плазму, это указывает на наличие в плазме больших флуктуаций относительно среднего состояния, т. е. плазма далека от теплового равновесия.
9.2. Электрическое поле в ионосфере, вызванное силой тяжести
Рассмотрим изотермическую плазму, находящуюся в поле силы тяжести, и в уравнении (2.9.2) положим рвнеш = ф0 = 0, a W = — m^gR^tx, где пга — масса частицы сорта a, Rs — радиус Земли, g — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Начало системы координат выберем
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ 67
