Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
-^-па(х, t) + v-na(x, t)\'a(x, t) = 0. (3.3.3)
Заметим, что оператор V = д/дх, фигурирующий в этом макроскопическом уравнении, следует из преобразования
j у.-Lfdv=-^. j/vdv = V.«V.
76
ГЛАВА З
Уравнение непрерывности отражает закон сохранения числа частиц. В правой части уравнения (3.3.3) могут быть члены, соответствующие источникам и стокам и связанные с ионизацией и рекомбинацией. Уравнение сохранения массы получается из уравнения (3.3.3) путем умножения его на массу частицы та:
~mQjm (Pma) “Ь V * (РтоЛ^а) = Oj (3.3.4)
здесь рта (=пата) — массовая плотность. Уравнение сохранения заряда получается из уравнения (3.3.3) почленным умножением его на заряд частицы qa:
~~qJ~ (Pqra) "~f~ V • (PgaVa) = 0, (3.3.5)
где pq(X ( = naqa) — плотность заряда.
Задача 3.3.1. Как разрешить следующий парадокс? Хотя равенство
J {dfjdt) І столи d\ = 0 означает, что парные столкновения не меняют
плотности плазмы, тем не менее только при наличии столкновений в системе с градиентом плотности п — п (х) и анизотропным давлением рх =0, ри Ф 0 возможна диффузия, приводящая к изменению п(х).
3.2. Уравнение движения
Интеграл от произведения кинетического уравнения (3.1.14) на импульс тау частицы сорта а по всему пространству скоростей выглядит следующим образом:
d/g
dt
d\.
стол к
J mav(^f + v.-^/a + ^(E + ^-).^-/a)dv= JmaV
(3.3.6)
С помощью уравнения непрерывности и пользуясь введенными выше макроскопическими параметрами, уравнение (3.3.6) можно свести к уравнению движения частиц сорта а:
пата(Va) + H0JnaWa- VVa- naqa <^Е + Va*B^) + V• Pa =
= та f па\ 1 dv У. WaWa(Va-Vp) (vap>, (3.3.7)
J Ot столи
з
где (vaP> — средняя частота столкновений (приводящих к релаксации импульса) с частицами плазмы сорта р. В силу закона сохранения импульса правая часть (3.3.6) обращается в нуль в случае столкновений между одинаковыми частицами; это выражение описывает, например, торможение группы быстрых частиц при столкновениях с более медленно движущимися частицами. Правая часть уравнения (3.3.7) часто является хорошим приближением для члена, описывающего трение. В уравнении (3.3.7) Pa — тензор давления, а усредненные поля (Е > и (B) связаны со средними параметрами плазмы па, Va и т. д. через уравнения Максвелла:
V-(E)=S паЯа + 4ярвиош,
а
_ /D. 1 й(Е) , 4я V v . 4л j (3.3.8)
V X (В) ——----—---1-— 2 паЯаУа H — «^внеш-
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
77
Задача 3.3.2. Восстановите промежуточные выкладки при выводе уравнения (3.3.7) из (3.3.6).
[Указание: V-U0JrbaVaYa = пата\а-VVa + Va (V-^aWaVa).]
Задача 3.3.3. Покажите, что уравнение переноса энергии, которое можно получить из (3.1.14) путем умножения на V2 namav2 и интегрирования по пространству скоростей, имеет вид
= (3.3.9,
Первые два члена в уравнении (3.3.7) вместе образуют «сопутствующую» производную (т. е. dldt + V •д/дх = DlDt). Их сумма представляет собой изменение импульса жидкой частицы, движущейся со скоростью Va, в единицу времени, пересчитанное на единицу объема. Следующий член описывает изменение импульса в единицу времени на единицу объема под действием сил, вызываемых усредненными полями. Дивергенция тензора давления дает изменение импульса в единицу времени на единицу объема за счет пространственных неоднородностей. В этом члене учитывается влияние вязких сил. Если столкновения между частицами происходят достаточно часто, связанный с давлением член сводится к градиенту скалярного давления (т. е. V-P Vp). Это приближение очень распространено.
Выведенные выше уравнения для моментов функции распределения представляют собой законы сохранения числа частиц, их импульса и энергии. Они применимы отдельно для каждой компоненты плазмдл, для которой применимо кинетическое уравнение (3.1.14). Эти уравнения не образуют замкнутой системы, поскольку в уравнение для каждого из моментов входят члены, содержащие более высокие моменты функции распределения. Для полного описания требуются все моменты: какая-либо система конечного числа уравнений не может полностью описать поведения плазмы. Чтобы извлечь полезную информацию из системы лишь небольшого числа уравнений, необходимо каким-нибудь образом замкнуть цепочку уравнений. Требуется связать посредством уравнения состояния высшие моменты, такие, допустим, как давление, температуру, с низшими моментами, например с плотностью. Эта проблема аналогична той, которая возникает при нахождении одночастичной функции распределения. Первоначальное описание плазмы посредством уравнения Лиувилля содержит информацию о поведении всей системы N частиц. Кинетическое уравнение (3.1.14) дает ограниченное описание системы, оно содержит информацию только об одночастичном распределении и представляет собой первое звено бесконечной цепочки уравнений, связывающих /(1) с /(2), /(2) с /(3) и т. д. Цепочка может быть оборвана на любом звене, если пренебречь более высокими корреляциями. Приближение, рассматриваемое в настоящей главе, состоит в том, чтобы оборвать цепочку на уравнении для одночастичной функции распределения, заменяя учет корреляций столкновительным членом dfldt I столк с конечной целью отбросить его или учесть в модели эффективной частоты столкновений. Аналогичным образом макроскопическое описание содержит менее полную информацию, поскольку отражает поведение системы только в конфигурационном пространстве. Такое неполное описание также соответствует бесконечной цепочке уравнений, которые связывают п с V, V с P и т. д. Эту цепочку можно оборвать, если пренебречь более высокими моментами или ввести дополнительное предположение о связи между P И Tl, т. е. дополнить ее уравнением состояния. Выбор того или иного способа обрыва цепочки макроскопических уравнений означает выбор определенной модели плазмы. Иногда используется изотермическое или адиабатическое уравнение состояния, а иногда хорошим предположением является р = 0. Однако для реше-
