Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
этого усредненного потенциала распределение Гиббса принимает вид
/ S W(*i) + №
—
здесь ф — полный электростатический потенциал
ф (xi) == Фр (Xi) "Ь Фвнеш (Xi),
а в W включены потенциалы прочих полей, например гравитационного. Потенциал фвнеш содержит электростатические потенциалы, создаваемые другими источниками, не включенными в статистическое рассмотрение (например, пластинами конденсатора, пробными частицами и т. д.). Плотность частиц сорта а в точке Xi дается следующей формулой:
f V / З'афр + ^афвнеш + ^ \ /о с /\
Па (Xi) = па exp ^-------^--------- ] . (2.6.4)
Выражение (2.6.4) справедливо в плазменном приближении, когда пренебрегают дискретностью плазмы, но учитывают характерное для плазмы явление экранирования голых частиц.
§ 7. ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАЗМА
Плазменное приближение (т. е. учет взаимодействия без корреляций) соответствует в точности идеализированной плазме, которая может быть мысленно построена из реальной. Представьте, что каждая частица реальной плазмы поделена на P равных частей. Если реальные частицы имеют плотность п0, заряд q0, массу т0 и температуру T0, система после деления обладала бы следующими свойствами:
Tl* = Pn0, т* = ^-, Т* = ~.
Такие характеристики системы, как дебаевский радиус экранирования, плазменная частота, параметр неидеальности, корреляционная функция, свободная энергия и уравнение состояния, при делении меняются следующим образом:
= ^DO 7
(Op = O)p0,
g* = go тг .
Pt2= (Pi2)0-L.
р* = Плотность зарядов = Po,
P=F.Hr4--I'2, р-2 ™г[1+о (Jr) *.] .
Если повторить такую процедуру много раз (так что P -> оо), корреляционная функция, параметр неидеальности, поправка к свободной энергии
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ 63
и поправка к уравнению состояния обращаются в нуль. Все эти параметры характеризуют одночастичные свойства плазмы. Коллективные же характеристики (плазменная частота, дебаевский радиус, плотность заряда) не меняются в процессе деления. Взаимодействия в этой системе связаны лишь со средними полями, корреляции же или какие-либо другие проявления дискретности отсутствуют. Такая система является идеальной проводящей жидкостью.
В описанном выше процессе деления частиц плазмы исчезают корреляции между отдельными частицами, но сохраняется взаимодействие между большими группами частиц. Если, наоборот, ослаблять взаимодействие, полагая q —0, все отличительные свойства плазмы пропадут (т. е. > оо, (Op 0 и т. д.).
§ 8. ПОТЕНЦИАЛ ПРОБНОГО ЗАРЯДА В ПЛАЗМЕ
Экранирующие свойства плазмы, непосредственно следующие из вида двухчастичных корреляционных функций, в гидродинамическом приближении проявляются при вычислении электростатического потенциала, создаваемого зарядом qT, помещенным в точку х = 0. Плотность заряда в плазме
== S naqa,
ос
причем концентрация па (х) из-за наличия пробного заряда qT теперь отлична от постоянной ( = N!V) и определяется выражением
„а (X) = -^ехP (-•§?-), (2.8.1)
где ф—электростатический потенциал (=qTlx + (фр)) в точке х, возникший при внесении пробного заряда. Обозначив па = NaIV, запишем уравнение Пуассона
V2<P= — 4Я?Т6(Х) — An 2 <?а«аЄХр (---------.
в котором, если пробный заряд не очень велик, экспоненту можно записать в виде
ГТТ1 ( *аф \ ~ 1 ?аф ,
Таким образом, уравнение Пуассона
[у2ф = — 4nqT6 (х) + 4я 2 —— ’
а
имеет решение
^ = ITr exP (2А2)
где совпадает с дебаевским радиусом экранирования, полученным при вычислении двухчастичных корреляций:
2 , ^
Ad =4nZj хТа •
Вблизи пробного заряда потенциал совпадает с потенциалом изолированного заряда q?/ \ х |. На более далеких расстояниях потенциал равен фпроб + (фр), где (фр)— (qrl\ х I) [exp (— х/Хъ) — 1] —потенциал поляризационного заряда, образованного облаком вокруг пробного заряда.
64
ГЛАВА 2
Задача 2.8.1. Обратите внимание, что F2 (X1, х2) dx±dx2, т. е. совместная вероятность нахождения частицы 1 в элементе объема ^x1 вблизи точки X1 и частицы 2 в элементе объема dx2 вблизи точки х2, определяется выражением
F2 (X1, х2) dx±dx2 = F1 (X1) dx±Fc (х2 | X1) dx2,
где Fc — условная вероятность найти частицу в элементе dx2 вблизи X2 при условии, что есть частица в элементе объема dxx вблизи X1. Используя выражение (2.8.2) для потенциала заряда, помещенного в точке X1 = 0, покажите, что
F2 (хь х2) = F1 (X1) F1 (х2) ехр [- ^^РІ-І^-хіІДв)^ ^
и таким образом выведите выражение
Pit=-I + exp [ -exp ( -)] , (2.8.3)
которое является лучшим приближением для двухчастичной корреляционной функции, чем выражение (2.3.7) 1). Обратите внимание, что
(2.8.3) близко к (2.3.7) в большей области значений | X2 — X1 |, но дает P1 2 = — 1 при I х2 — X1 I 0 для корреляции между двумя электронами.
В точках, расположенных вблизи пробного заряда,
Qt Qi
Фближ = Ix-Xol ^ *
Первый член — это потенциал изолированного пробного заряда, второй связан с поляризацией плазмы. Вдали от пробного заряда ф 0, в чем опять проявляется эффект экранирования.
Очевидно, что потенциал плазмы ф — Фпроб равен
