Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
групповое разложение (2.2.5) и приближение T1 2 з Pi 2 1» уравнение
(2.3.2) можно записать в следующем виде:
дР 12,1 д qtq2
S j [pI 2 (Х2> xCt) +
^x1 ~ кТ Oxl IX2-X1I 1 кТ
а
+ л«(х1. х<х)1 71*? =°; (2-3.3)
здесь па = NaIV — средняя плотность частиц плазмы с зарядом сорта а. Уравнение (2.3.3) решается методом преобразования Фурье. Вследствие центрального характера сил корреляционная функция зависит только от расстояния |хх — х2| между частицами. В этом случае фурье-образ парной корреляционной функции можно записать в виде
Ph12= j exp Iik-(X2-X1)] P12(IX1-X2I) dxt.
Если предположить, что корреляционные функции разных пар зарядов (электрон — ион, ион — ион или электрон — электрон) совпадают по абсолютной величине, т. е.
D ___ ^1^2 I ^l 2 I /о Q /\
Pi2~—I^i- ’ (2-3‘4)
то I P12 I можно вынести за знак суммы по разным сортам частиц. Это предположение является разумным, по крайней мере в низшем порядке по g, поскольку P1 2 должна быть положительной для разноименных зарядов и отрицательной для одноименных. Кроме того, выражение (2.3.4) предполагает симметрию корреляций, которая может быть проверена после вычисления в том порядке по малому параметру, в котором проводится это вычис-
58
ГЛАВА 2
ление. После преобразования Фурье уравнение (2.3.3) принимает вид
Pk,*+ **~-X-+* TKT S “ О-
ос
Для зарядово-нейтральной плазмы 2? = 2и*, где пе — концентрация
а
электронов. Обратное преобразование Фурье дает
P,.(|x,-x,|)= (2.3.5)
здесь Xd = (кТ/8лпге2)1/2 — дебаевский радиус 1). Выражение (2.3.5) с ^d, определяемым формулой (2.3.5а), дает двухчастичную корреляционную функцию и радиус экранирования для многокомпонентной плазмы.
Можно выразить корреляционные функции через параметр неидеалыю-ности g и тем самым проверить, что групповое разложение в плазме проводится именно по этому параметру:
П Я\Я2 * ехр( — IR IAd). /9 Q А\
Fi2 = 5г- 8ЇГ —[к]дБ-------------------------’ ( * *Ь)
здесь R = х2 — X1.
Из (2.3.6) следует, что корреляции слабы, когда g мало [точнее говоря, P1 2 (#)]. Из этого выражения также видно, что корреляция между
частицами пропорциональна знаку их взаимодействия и что корреляции исчезают либо при п -> 0, либо при T -> оо. В выражении (2.3.6) опущены члены порядка g2, но с точностью до g величина P12 симметрична, т. е. одинакова для одноименно и разноименно заряженных частиц с равными зарядами; это подтверждает предположение (2.3.4).
Следовательно, вероятность нахождения частицы 1 в X1 и частицы 2 в X2 равна
Л = -уг
1
?|?2_________________
кТ Ix2-X1Ij
(2.3.7)
Выражение (2.3.7) несправедливо, если P12 порядка единицы. Из (2.3.6), однако, следует, что | P1 2 | > 1 лишь в объеме R3 который мал
по сравнению с объемом области взаимодействия Для последовательного вычисления термодинамических функций необязательно знать точное значение P1 2 в этой области.
Корреляционная функция P12 обладает следующими свойствами:
1) 2> 0» когда заряды частиц 1 и 2 противоположны;
2) Pi 2 когда заряды частиц 1 и 2 одного знака;
3) P12 экспоненциально мала, когда расстояние между частицами больше дебаевского радиуса;
4) приближение P12 1 выполняется, пока RIXd > g.
Первые два свойства попросту напоминают нам, что разноименные заряды притягиваются, а одноименные отталкиваются. Третье свойство связано с дебаевским экранированием. На расстояниях, много больших Xd, частица 2 имеет распределение, независимое от частицы 1. Это происходит потому, что все другие частицы плазмы скоррелированы с частицей 1, которая окружена облаком радиуса Xd, имеющим заряд q = — qx.
1J Можно обобщить выражение для дебаевского радиуса на случай, когда электроны и ионы подчиняются распределению Гиббса, но их температуры неодинаковы. В этом случае
Id (2.3.5а)
a j а
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ 59
Фиг. 28. Двухчастичная корреляционная функция P12 в зависимости от относительного расстояния между частицами в плазме Штриховая кривая — график функции 1/| X2 — х» I*
Приближения, использованные при обрыве группового разложения Майера (Р12<С1)> заведомо справедливы вне дебаевской сферы. Если параметр неидеальности g мал, корреляции остаются слабыми и разложение Майера применимо, даже если | X1 — X2 | /Xd 1. Внутри достаточно большой области корреляции малы, но не экспоненциально малы:
P12 =
Я\ Qz
X2-XlK ^D-
хГ IX2-Xil ’
Корреляции велики на расстоянии | х2 — X1 |, меньшем среднего расстояния X0 наибольшего сближения в газе кулоновских частиц при температуре Г, х0 = е21кТ; в этом случае приближения, использованные при вычислении P12, н« выполняются. Иерархия масштабов показана на фиг. 28.
§ 4. СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ПЛАЗМЫ
Работа, совершенная над газом при бесконечно малом изотермическом изменении его состояния, равна приращению AF величины F, называемой свободной энергией, или энергией Гельмгольца. Свободная энергия связана с другими термодинамическими функциями следующим образом:
F = W - TS;
