Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
, /22 w* \
Z=j exp ^---------------Jdxl ... dxN
— конфигурационный интеграл; фВНеш представляет собой потенциальную энергию, связанную с внешними источниками, например гравитационную энергию. Величина D есть плотность вероятности, характеризующая состояние полной системы частиц. Плотность вероятности нахождения частицы 1 в точке X1 дается выражением
F\ (xi) = j Ddxi . . . dxN. (2.2.2)
В отсутствие внешних сил положения всех частиц должны быть равновероятны, т. е. F1 — постоянная величина, равная
где V — объем системы.
Аналогично плотность вероятности нахождения частицы 1 в точке X1 и частицы 2 в точке X2 определяется двухчастичной функцией распределения
F2 (X111 х2) = j Ddx^dxtk ... dxN. (2.2.3)
Выражение для s-частичной функции распределения имеет вид
Fa (X1, х2, . • xs) = ^ Ddxs^1 . . . dxpf. (2.2.4)
Функции распределения F1, F2, . . ., Fs (при s < N) называются приведенными. Плотность совместной вероятности Fs>1 учитывает эффекты взаимодействия частиц. Когда Wih-+- 0, присутствие частицы в точке X2 не
влияет на вероятность нахождения частицы в точке X1. В этом случае
Wik^o
Fs —F1 (X1) F1 (х2) ... F1 (X5) = F"s.
Групповое разложение Майера [1, 2] функций распределения Fs выделяет в явном виде эффекты взаимодействия частиц:
F2 (X1, х2) = [I + F12 (X1, х2)] F1 (X1) F1 (х2),
F3 (X1, X1, X2) = [1 +л 2, (X1, х2) + Р12(х2, X3) +
+ Л2(хь X3) + T123] F1 (X1) Fi (X2) F1 (X3), (2.2.5)
56
ГЛАВА 2
Функция P1 2 (xl7 х2) называется двухчастичной корреляционной функцией. Она обращается в нуль при исчезновении взаимодействия и содержит информацию о том, что отталкивающиеся частицы имеют меньшую вероятность находиться вблизи друг друга, чем притягивающиеся. Поскольку кулонов-ские силы являются центральными,
Р(щ, X2) = P(Ix2-X1I).
В плазменном приближении взаимодействие слабое; это позволяет предположить следующую схему приближений:
^l 23 <С ^l 2 1*
Эта схема лежит в основе существующих теорий плазменного состояния вещества.
Полное распределение Гиббса зависит от пространственных координат и скоростей:
D*(x4, ..., Xiv, V1, ..., \N) =
(Tit ШіГі ) ( 2 2 "’’«Л
~ ~z*~ exP і. 1 хг J ехр\ t^if-J-
Очевидно, однако, что скорости всех N частиц распределены независимо, т. е. распределение D* можно представить в виде
JJ exp (— mv\l2y.T)
D* = -77—-----------------ZKx1, ..., xN).
[J ^v1 exp (—mvl/2y,T)]N
Отсюда следует, что корреляции в пространстве скоростей отсутствуют, поэтому приведенные функции распределения, определяемые выражениями (2.2.2) — (2.2.4), записываются в виде
*7(*1» VO = Z1(V1)Fi(X1),
FJ (X1, х2, V1, v2) = Z1 (V1) Д (v2) F2 (X1, х2),
здесь
/.<’.>=ь?гГ« р(--а-)-
Таким образом, нерелятивистская плазма с точки зрения распределения по скоростям представляет собой идеальный газ, и отклонения от идеального газа определяются пространственными корреляциями F2 (х4, х2); именно по этой причине равновесная статистическая теория плазмы строится на языке функций распределения D (х, у). Заметим, что в релятивистской плазме нельзя пренебречь магнитными полями, создаваемыми движущимися зарядами, и в энергии взаимодействия появляется член, зависящий от скорости, что приводит к возникновению корреляций в пространстве скоростей *).
§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЕ
Корреляционные функции P1 2 могут быть вычислены в явном виде для ансамбля Гиббса в предположении T1 2 3<С Л 2^ если при вычислении функции распределения более высокого порядка F3 учитывать лишь двухчастичные корреляции. Цепочка дифференциальных уравнений для Fs
х) Читателя, более подробно интересующегося распределением Гиббса, мы отсылаем к книге [3].
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ 57
получается дифференцированием выражения (2.2.4):
dFs________1_ Vl р dWlk_______i_ N.1 дг f dWia „ . а \ j a
Sxl хГ 2) Ь* дхі У.Т 2j “ J Sx1 S+1 ( *’ ’ ’ ' ’ *’ х*+і)“х«+1>
k = 2 a
(2.3.1)
здесь S берется по всем сортам зарядов (частица а можёт быть ионом или
а
электроном), a Na — число частиц каждого сорта. Частица, обозначенная индексом к = s + 1, неотличима от других частиц того же сорта. Следовательно, имеется Na — s одинаковых интегралов по dxs+1. Интегрирование по dxs+2 . . . dxN дает Fs+1. Таким образом, тождественность частиц одного
N
сорта позволяет заменить сумму 2 на S Na в предположении N^s. Если
*-И а
система имеет N12 ионов и N12 электронов, то Na = N12 и 2 состоит
а
просто из двух членов, в одном из которых (5 + 1 )-я частица является ионом, а в другом — электроном. В общем случае система состоит из NI2 электронов, но ионы могут быть разных сортов.
При 5=2( Na — s заменено на Na) соответствующее уравнение из цепочки (2.3.1) выглядит следующим образом:
QF2 і ^ г & Я1Я2 і I Vi лт f j? d QicIa
Cfa1 1 кТ
fS-J- , g>g2 .+-ArS Na [ F3 * , gl?g . dxa = 0. (2.3.2)
2 Йсі Ix1-X2I хТ “ J 3 dXi Ix1-ха| “ v '
a
Уравнение (2.3.2) легко обобщить на случай ионов разных сортов, введя величину Na — число частиц сорта а. Используя для функций F2 и F3
