Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
здесь W — внутренняя энергия, T — температура, S — энтропия системы. В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия минимальна.
Свободную энергию плазмы можно выразить через свободную энергию идеального газа с учетом поправок, пропорциональных двухчастичной корреляционной функции. Свободная энергия на единицу объема статистической системы, описываемой распределением Гиббса, равна [3]
F (К) = -Щ- In j exp ( -JL 2 2 Wik) dxі ... dxN, (2.4.1)
h i>k
где X — параметр, обращающийся в единицу при полностью включенном взаимодействии в плазме. Введение X позволяет представлять кулоновское взаимодействие включенным адиабатически.
Дифференцируя выражение (2.4.1) по X, получаем
h i>h h i>h = -2у- j 2 ^a.NyWау (I Xy—ха I) F^ (xa, xv) dxa dxy; (2.4.2)
a, v
60
ГЛАВА 2
остающаяся сумма здесь берется по сортам зарядов; частица сорта а, так же как и частица сорта у, может быть либо ионом, либо электроном; F2 — двухчастичная функция распределения [формула (2.2.3)]. Поскольку 2 Way = 0,
а, у
очевидно, что
-^ = 2 -??- f WayPV2 (Xe, Xv) dxa dxv; (2.4.3)
а, Y
здесь Pty = — (Qxq2XIxT] х | ) exp (— ]/\ I х I /^d)- Поскольку Wav и P12 зависят только от расстояния | ха — Xv |, правая часть (2.4.3) имеет вид
-у 2 n“wv j w (х) 2 (х) dx.
a, Y
Свободную энергию/1 получаем, интегрируя (2.4.3) по X от 0 до 1. Заметим, что F (X == 0) = F0 есть свободная энергия идеального газа, поскольку при X = 0 взаимодействие отсутствует. Таким образом,
і
F = F0 + J- j dX 2 n*nv j ур^2 (x)dx- (2-4.4)
0 a, Y
Интеграл в (2.4.4) можно вычислить, воспользовавшись полученным выше выражением для P12 (2.3.5), которое справедливо лишь при | xa — Xy | >
>е2ЫТ. Однако относительный вклад в интеграл j W (х) P1 2 (х) dx от области I х I < е2!кТ пропорционален отношению объема (е*ЫТ)ъ к объему области эффективного взаимодействия Al/, это отношение представляет собой параметр неидеальности g *). Поэтому интегрирование (2.4.4) дает
В случае газа с короткодействующими силами взаимодействия (например, для нейтрального газа) свободная энергия F=F0 — An2. В случае плазмы поправка к свободной энергии идеального газа пропорциональна более низкой степени плотности. Эта добавка к свободной энергии в газе с дальнодействующим взаимодействием (плазме), пропорциональная /г3/2, называется дебаевской поправкой.
Задача 2.4.1. Вычислите интеграл в выражении (2.4.4) и проверьте формулу (2.4.5).
Задача 2.4.2. Покажите, что следующая поправка к свободной энергии плазмы пропорциональна п2.
Задача 2.4.3. Оцените поправку к свободной энергии для типичной межзвездной плазмы с температурой Te = 1 эВ и концентрацией электронов пе = 1 CM-3.
§ 5. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид р = пкТ, где р — давление. Уравнение состояния плазмы можно получить, воспользовавшись теоремой вириала:
(K9) = J-^2 Fi*xi) ; (2.5.1)
х) Точнее, g в третьей степени.— Прим. ред.
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ 61
здесь КЭ — кинетическая энергия частиц системы, Fi — произвольные силы, а угловые скобки означают усреднение по ансамблю, т. е.
Вириал включает в себя работу как сил взаимодействия, так и сил давления, оказываемого на частицы стенками сосуда:
здесь Xki = I xh — х; |, а V — объем системы. Кинетическая энергия определяется выражением
где сумма берется по всем сортам частиц. Очевидно [см. вывод (2.4.3)], что уравнение состояния плазмы записывается -в виде
Задача 2.5.1. Найдите уравнение состояния плазмы и покажите, что
Задача 2.5.2. Прочтите работу О’Нейла и Ростокера [4] и покажите, что следующая поправка в уравнении состояния есть О (g2 In g). Эта поправка связана с учетом трехчастичных корреляций.
Если параметр неидеальности g мал, то корреляции в системе незначительны и ими можно пренебречь. Во многих случаях, рассматриваемых в физике плазмы, параметр g мал и корреляциями пренебрегают. Однако пренебрежение корреляциями не означает, что взаимодействие вообще не учитывается. Потенциал ф в точке Xi внутри плазмы должен включать в себя, помимо всех внешних полей, потенциал фр, создаваемый в точке Xi всеми частицами системы, т. е.
Рассмотрим теперь небольшой объем dxj, такой, что dxj^> IIna. Этот объем содержит большое число частиц, которые, как мы считаем, распределены в нем равномерно с точностью до первого порядка по g. Пусть концентрация частиц сорта а в точке Xj равна па (х7). Среднее значение электрического потенциала в точке Xi, создаваемого частицами, находящимися в элементе объема dxj вблизи Xj-, определяется выражением
(2.5.2)
(2.5.3)
г
I k>l
(2.5.4)
а
р = 2геиГ—2 j x„v• ^^-Pi2(|xa--xv|)dx«v. (2.5.5)
P= 2пкТ (l
48я
)•
§ 6. ПЛАЗМА КАК ЖИДКОСТЬ
(2.6.1)
з
(2.6.2)
а
а полйый потенциал в точке хг
dxj qana (х})
62
ГЛАВА 2
Выражения (2.6.2) и (2.6.3) не являются точными, поскольку не все частицы па (х7) dxj внутри объема dxj находятся именно в точке Xj-, как считалось в (2.5.2) и (2.5.3). Тем не менее, если внутри dxj находится много частиц-а I Xi — Xj- I ^ (^х/)1/з, усредненные потенциалы (2.6.2) и (2.6.3) представ, ляют собой хорошие приближения к истинным потенциалам. Возможность перехода к непрерывному описанию дискретной системы связана с предположением о большом числе частиц в дебаевской сфере (^?,? I). В терминах
