Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ло/а'ОЧ, V1, t) =
= Na j F(X1, X2, . .., Xjy, V1, v2, ..., vN, i)dx2 . .. dxNd\2 ... d\N; (3.1.2)
здесь na = NJV1 a У — объем системы. Величина naf^)dii1d\1 представляет юобой число частиц сорта а в элементе объема CLk1CLy1 в момент времени t вблизи X1, V1. Для плазмы в тепловом равновесии /?} является максвелловским распределением. В других случаях часто оказывается возможным предположить правдоподобные начальные условия для f\и, как будет видно из дальнейшего рассмотрения, многие плазменные явления качественно не зависят от точной формы Pa •
Зная F, можно определить полный набор приведенных распределений. Например, интегрирование выражения (3.1.1) по координатам и скоростям всех частиц, кроме двух, дает двухчастичную функцию распределения
Mafiyfау (х1» X2, V1, V2, t) =
= NaNy j F(х4, х2, ..., Xjv, V1, v2, .. ., \N)dx3dxi ... dxN d\zd\4 ... d\N,
(3.1.3)
в которой индексы a и Y могут соответствовать либо одному сорту частиц, либо разным сортам. Эволюция приведенных распределений описывается уравнениями, которые можно получить из уравнения для F1 с помощью процедуры, аналогичной (3.1.2) и (3.1.3). Многочастичная функция распределения (3.1.1) подчиняется уравнению Лиувилля [1]
ТГ+2(?". + -?"«Г)- * (3.1.4,
і
здесь af — полное ускорение і-й частицы за счет внешних сил и сил взаимодействия между частицами. Хорошо известное из статистической механики уравнение Лиувилля можно записать в виде dF/dt == 0. Это уравнение можно интерпретировать как уравнение движения гиперчастицы с координатами {хх, . . ., xN, V1, . . ., Viv) в фазовом гиперпространстве под действием заданных сил, зависящих от координат и скоростей. Значение F, т. е. плотности вероятности, сохраняется вдоль траектории гиперчастицы. Это, разумеется, не означает, что F постоянно во времени в любой фиксированной точке (х1? . . ., Xiv, V1, . . ., Viv) или не меняется в пространстве от точки к точке.
Дифференциальное уравнение для одночастичной функции распределения получается из уравнения Лиувилля (3.1.4) интегрированием по координатам и скоростям всех частиц, кроме одной, т. е.
-^^ + Vj.-^їїоЛ’ + ЛГ* j aIr-^x2 ... dxNdx2 ... dv* = 0; (3.1.5)
здесь предположено, что
J dx^- J^dvi = O.
Последнее выражение представляет собой средний поток частиц через границы системы. Поскольку, согласно предположению, Na — постоянная
величина, этот поток равен нулю. Аналогично j (dF/dx2) dv2 = 0 вследствие
условия F (v = оо) = 0. Если на і-ю частицу действуют только внешние силы,
72
ГЛАВА З
т. е. если ускорение і-й частицы
?i_E j____Чі [v і X BI
(3.1.6)
‘ ГП( ' mi с
третий член в уравнении (3.1.5) принимает вид
Na j ar-^-dx2 ... dxNd\2 ... d\N = -?- (E-f
(3.1.7)
В частном случае отсутствия взаимодействия между частицами кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения записывается следующим образом:
Так же как и уравнение Лиувилля, уравнение (3.1.8) показывает, что в отсутствие взаимодействия плотность частиц в фазовом пространстве сохраняется вдоль траектории одной частицы сорта а, движущейся под действием внешней силы F<E> = тааЕ.
В действительности на і-ю частицу наряду с внешними силами действуют также силы со стороны других частиц, т. е.
где а и — ускорение под действием сил межчастичного взаимодействия. В этом случае третий член в уравнении (3.1.5) имеет вид
Ho, поскольку все частицы одного сорта |5 тождественны, отсюда следует, что
здесь а1Р — ускорение, приобретаемое частицей 1 под действием силы со стороны некоторой частицы сорта |5. Используя определение /?, выражение
(3.1.10) можно записать следующим образом:
Отсюда следует, что соотношение (3.1.5) не является замкнутым уравнением относительно /(1) и для его решения требуется знать /(2). Ряд теоретических исследований по физике плазмы посвящен поиску путей, позволяющих в действительности избежать вычисления /(2), прибегая вместо этого к какому-либо методу оценки второго члена в (3.1.11) из физических соображений. Метод приближенного вычисления второго члена в уравнении (3.1.11) зависит от природы сил взаимодействия между частицами. Например, если силы взаимодействия велики и имеют малый радиус действия, этот член в основном определяется изменением во времени одночастичной функции распределения в процессе парных столкновений. Тогда уравнение (3.1.5) можно приближенно записать в следующем виде:
(3.1.8)
(3.1.9)
І
af"^- {Пара)+ j 2 Na&ij--^dx2 ... dxNd\2 ... dvN. (3.1.10)
j
2 J BnjFdx2 . .. dxNd\2 ... d\N= 2 N$ j ... dxNd\2 ... d\N;
j Э
(nafa) + 2 j alP--^-na«P/a|5(xl> XP> vl> vP- t) dXfid\p. (3.1.11)
dt стояк *
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
73
здесь
dt
1К= — 2 nP J /Ф(*1» ХР> V1’ vP- t)dxfidxр. (3.1.12)
P
Однако в плазме взаимодействие между частицами дальнодействующее и сила, действующая на частицу, может быть разбита приближенно на две части: одна часть — это средняя сила, действующая на частицу со стороны большого числа относительно удаленных частиц, другая часть связана с ближайшими соседними частицами. В разреженной плазме таких близких частиц мало и средняя сила со стороны удаленных частиц в общем случае значительно превосходит силу, создаваемую ближайшими соседями. Удобно объединить усредненные силы межчастичного взаимодействия с внешними силами, вводя ускорение а = авнеш +(аВнутр)- Это полезно сделать, поскольку средняя сила со стороны удаленных частиц не зависит от их точного местоположения, а зависит только от локальной плотности этих частиц. Силы, не зависящие от точного расположения всех частиц, похожи на внешние силы. Сила, действующая со стороны ближайшей частицы, вызывает следующее изменение функции распределения (происходящее по существу с частотой парных столкновений):
